จำนวนเฉพาะ

[pond27216]

ให้ a b c เป็นตำนวนเฉพาะจงพิสูจน์ว่าไม่มีจำนสนใดเลยที่ a^3+b^3=c^3

[Aquila]

ลองใช้ไอนี่ดู

ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 $p \equiv 1,3 \pmod{4}$

หลุดไม่หลุดบอกด้วยนะครับ

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

ลองใช้ไอนี่ดู

ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่ 2 $p \equiv 1,3 \pmod{4}$

หลุดไม่หลุดบอกด้วยนะครับ

มีที่มายังไงครับ เงิบเลย

[Thgx0312555]

จริงๆ ไม่ต้องเป็นจำนวนเฉพาะก็ได้ครับ เป็นกำลัง $n>2$ ก็ได้ (Fermat's last theorem)

แต่ case นี้คงจะพิสูจน์ไม่ยากขนาดนั้น ครับ สังเกต
สมมติทั้งสามตัวแตกต่างกันหมดก่อนครับ
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=c^3$
แยกได้ 4 เคส
$a+b=1 \quad a^2-ab+b^2=c^3$
$a+b=c \quad a^2-ab+b^2=c^2$
$a+b=c^2 \quad a^2-ab+b^2=c$
$a+b=c^3 \quad a^2-ab+b^2=1$
สังเกตว่า
$\gcd (a+b,a^2-ab+b^2)=\gcd (a+b, 3b^2)$
(Note: gcd=ห.ร.ม)

เคสที่ (2),(3) จะได้ ห.ร.ม เป็น $c$ -> $c \mid 3b^2$ -> $c=3$ or $c=b$ ขัดแย้งทั้งสองเคส
เคสที่ (1) เป็นไปไม่ได้อยู่แล้ว
เคสที่ (4) ลองอสมการนิดๆ ก็ขัดแย้ง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pond27216

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนใดเลยที่ $a^3+b^3=c^3$

ถ้า $a,b$ เป็นคี่ทั้งคู่ จะได้ $c=2$ ซึ่งไม่มี $a,b$ ที่สอดคล้อง

ถ้า $a$ หรือ $b$ เป็นคู่ สมมติ $a=2$ จะได้

$b^3< a^3+b^3 = c^3$ ดังนั้น $b<c$

และ $c^3 = a^3 + b^3 < (a+b)^3$ ดังนั้น $c< a+b = b+2$

สรุปว่า $b<c<b+2$ จึงได้ $c=b+1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะมีจำนวนเฉพาะที่ห่างกันอยู่ $1$ หน่วย

[pond27216]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $a,b$ เป็นคี่ทั้งคู่ จะได้ $c=2$ ซึ่งไม่มี $a,b$ ที่สอดคล้อง

ถ้า $a$ หรือ $b$ เป็นคู่ สมมติ $a=2$ จะได้

$b^3< a^3+b^3 = c^3$ ดังนั้น $b<c$

และ $c^3 = a^3 + b^3 < (a+b)^3$ ดังนั้น $c< a+b = b+2$

สรุปว่า $b<c<b+2$ จึงได้ $c=b+1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะมีจำนวนเฉพาะที่ห่างกันอยู่ $1$ หน่วย

แล้วจำวนเฉพาะลบอะครับ

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pond27216

มีที่มายังไงครับ เงิบเลย

มันเป็นเครื่องมือสำหรับมอดุโลอย่างนึงน่ะครับ แต่ใช้กับข้อนี้ไม่ได้ ขอโทษที

เพราะต้องเชคกรณีที่ $a,b$ มีอย่างน้อย 1 ตัวที่เป็น 2 จากนั้นจะใช้มอดุโล 4 เชคไม่ได้

ไม่ต้องไปสนใจหรอกครับ