ทฤษฎีจำนวน ที่ทำไม่ได้ ช่วยหน่อยนะคะ

[computer]

$1)$ ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้ $a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, b^4|a^5,...$ จงแสดงว่า $a=b$
$2)$ ให้ $U = \left\{\,1,2,3,...,52920000\right\}, A = \left\{\,x\in U|(x,52920000)=2\right\} $ จงหาจำนวนสมาชิกของ $A$

------

[Aquila]

ข้อแรกจะพิสูจน์ เครื่องหมายเท่ากับ assume contrary
จากนั้น set ให้ a,b อยู่ในรูปผลคูณจำนวนเฉพาะยกกำลัง
วิเคราะห์จำนวนเฉพาะ กับเลขชี้กำลัง
แล้วเอาไปทำ contradiction ครับ

edit หน่อย มีเฉลยอยู่ข้างล่างครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1196

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$2)$ ให้ $U = \left\{\,1,2,3,...,52920000\right\}, A = \left\{\,x\in U|(x,52920000)=2\right\} $ จงหาจำนวนสมาชิกของ $A$

Euler's phi function

$ (x, 52,920,000 ) = 2 $

$ ให้ \; x = 2y $

$ (2y, 52,920,000 ) = 2 $

$ (y, 26,460,000 ) = 1$

$ 26,460,000 = 2^5\cdot 3^3\cdot 5^4\cdot 7^2 $

$ |A| = \phi ( 26,460,000 ) $

$ = 26,460,000 ( 1-\frac{1}{2}) ( 1-\frac{1}{3}) ( 1-\frac{1}{5}) ( 1-\frac{1}{7}) $

$ = 6,048,000 $

[computer]

ขอบคุณมากค่ะ มีโจทย์มาเพิ่มค่ะ
3) จงพิสูจน์ว่า $2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1$ จะมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย $n$ จำนวน
4) ให้ $a,m,n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $m>n$ จงหาค่าของ $(a^{2^{m}}+1, a^{2^{n}}+1)$
5) จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ ทั้งหมดที่ $x<y<z$ และแต่ละคู่ของ $x,y,z$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และ $z|(x+y)$

[Thgx0312555]

5. $(x,y,x+y)$ เมื่อ $\gcd (x,y)=1,x<y$ ครับ
Hint: use inequality

[polsk133]

3. อุปนัยเลยครับ
4. แยกเคส

[Aquila]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

3. อุปนัยเลยครับ
4. แยกเคส

แยกแคสที่ว่านี่คือยังไงครับ?

วิธีที่ผมพอรู้ทำประมาณนี้
จาก $a^{2^{m}}+1=(a^{2^{n}}+1)(a^{2^{m}-2^{n}}-a^{2^m-2^{n+1}}+...+a^{2^n}-1)+2$
แล้วมาดู $(a^{2^m}+1,a^{2^n}+1)$ จากนั้นใช้สมบัติหรม.ได้เลย ตอบ $2$

[polsk133]

ถ้า a เป็นจำนวนคู่จะตอบ 1 ครับ