สมการเวียนบังเกิด

[mark123 ^.^]

จงแก้สมการ
$$a_{n} = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$$
โดยที่ $a_{0} = 1$ และ $a_{1} = 1$
อยากได้วิธีอนุกรมกำลังอะครับ ไม่เอารากสมการช่วย
ขอบคุณครับ

[ohmohm]

$A(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k$
$ = \sum_{k=0}^1 a_kx^k + \sum_{k=2}^\infty a_kx^k $
$ = a_0x^0 + a_1x^1 + \sum_{k=2}^\infty (2a_{k-1} - 2a_{k-2}) x^k $
$ = 1 + x + 2\sum_{k=2}^\infty a_{k-1}x^k - 2\sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^k$
$ = 1 + x + 2x\sum_{k=2}^\infty a_{k-1}x^{k-1} - 2x^2\sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^{k-2}$
$ = 1 + x + 2x\sum_{k=1}^\infty a_{k}x^{k} - 2x^2\sum_{k=2}^\infty a_{k-2} x^{k-2}$
$ = 1 + x + 2x(\sum_{k=0}^\infty a_{k}x^{k} - \sum_{k=0}^0 a_{k}x^{k}) - 2x^2A(x)$
$ = 1 + x + 2x(A(x) - 1) - 2x^2A(x)$
$ = 1 + x + 2xA(x) - 2x - 2x^2A(x)$
$ = 1 - x + 2xA(x) - 2x^2A(x)$

$ A(x) = 1 - x + 2xA(x) - 2x^2A(x)$
$ A(x)(1 + 2x^2 - 2x) = 1 - x$
$ A(x) = \frac{(1 - x)}{(2x^2 - 2x + 1)} $
$ = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 - (1+j)x} + \frac{1}{1 - (1-j)x})$
$ = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^\infty (1+j)^nx^{n} + \sum_{n=0}^\infty (1-j)^nx^{n}) $

ฝากตรวจต่อด้วยครับ คำตอบคือ
$a(n) = \frac{(1+j)^n + (1-j)^n}{2} $