ช่วยแก้โจทย์หน่อยคะ(เรื่อง สัมปประสิทธิ์ทวินาม)

[:PP]

1.จงหาสัมประสิทธิ์ของ (x^119) ในการกระจาย [x+(x^3)+(x^5)+(x^7)]^99

2.จงหาสัมประสิทธิ์ของ $x^n$ และ $x^n+r$ เมื่อ $1\leqslant r\leqslant n $ในการกระจาย
$[(1+x)^{2n}] + [x(1+x)^{2n-1}]+[(x^2)(1+x)^{2n-2}]+.....+[(x^n)(1+x)^n]$


เฉพาะข้อที่ขีดเส้นสีเหลืองนะค่ะ

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 2 สปสหน้า $x^{n}$ ได้ $\sum_{k = 0}^{n}\binom{n+k}{n}$ =$\binom{2n+1}{n}$

[Thgx0312555]

2. $S=(1+x)^{2n}+x(1+x)^{2n-1}+x^2(1+x)^{2n-2}+\cdots+x^n(1+x)^n$
คูณตลอดด้วย x
$xS=x(1+x)^{2n}+x^2(1+x)^{2n-1}+x^3(1+x)^{2n-2}+\cdots+x^n(1+x)^{n+1}+x^{n+1}(1+x)^n$
คูณตลอดด้วย 1+x
$(1+x)S=(1+x)^{2n+1}+x(1+x)^{2n}+x^2(1+x)^{2n-1}+\cdots+x^n(1+x)^{n+1}$
นำสมการล่างลบสมการบน
$S=(1+x)^{2n+1}-x^{n+1}(1+x)^{n}$

สปส พจน์ $x^{n+r}$ จึงเท่ากับ

$\dbinom{2n+1}{n+r}-\dbinom{n}{r-1}$ ($r=0, \dbinom{n}{r-1}=0$)

[FranceZii Siriseth]

ทำไม r=0 ผมได้ไม่เท่าพี่ Thgx0312555 งะ

[Thgx0312555]

เท่ากันแล้วครับ เขียนผิด ^^

[FranceZii Siriseth]

ข้อแรกครับ $(x+x^3+x^5+x^7)^{99}$ = $x^{99}(1+x^2)^{99}(1+x^4)^{99}$
พิจารณาสปสหน้า $x^{20}$ ใน $(1+x^2)^{99}(1+x^4)^{99}$

$(1+x^2)^{99} = \sum_{r = 0}^{99} \binom{99}{r}x^{2r}$
$(1+x^4)^{99} = \sum_{k = 0}^{99} \binom{99}{k}x^{4k}$

$2r+4k=20$
$r+2k=10$ โดยที่ $r,k\geqslant 0$

$(r,k)$ ได้แก่ $(10,0),(8,1),(6,2),(4,3),(2,4),(0,5)$

สปสหน้า $x^{119}$ คือ $\binom{99}{10}\binom{99}{0}+ \binom{99}{8}\binom{99}{1}+ \binom{99}{6}\binom{99}{2}+ \binom{99}{4}\binom{99}{3}+ \binom{99}{2}\binom{99}{4}+ \binom{99}{0}\binom{99}{5}$

[:PP]

ขอบคุณนะค่ะ :]

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 20.1
พิจาณา $(1+x)^n$ เมื่อ $\mid x\mid < 1$ = $\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+...$

ให้ $f(x)$=$(1+x)^n$ = $\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+...$

ให้ $cis(\frac{2\pi}{4})=w$ ดังนั้น $w,w^2,w^3,w^4$ เป็นรากของสมการ $x^4=1 หรือ (x-1)(x^3+x^2+x+1)=0$

$f(w)=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}w+\binom{n}{2}w^2+\binom{n}{3}w^3+\binom{n}{4}w^4...$
$f(w^2)=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}w^2+\binom{n}{2}w^4+\binom{n}{3}w^6+\binom{n}{4}w^8......$
$f(w^3)=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}w^3+\binom{n}{2}w^6+\binom{n}{3}w^9+\binom{n}{4}w^{12}......$
$f(w^4)=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}w^4+\binom{n}{2}w^8+\binom{n}{3}w^{12}+\binom{n}{4}w^{16}......$

$f(w)+f(w^2)+f(w^3)+f(w^4)$ = $4[\binom{n}{0}+\binom{n}{4}+\binom{n}{8}+...]$

$4[\binom{n}{0}+\binom{n}{4}+\binom{n}{8}+...]$ = $(1+w)^n+(1+w^2)^n+(1+w^3)^n+(1+w^4)^n$

แทนค่า $w$ ก็ได้แล้วครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 20.2 ทำคล้ายกันครับ แต่พิจารณา $f(x) = x^3(1+x)^n$
ส่วน ข้อ 19 ก็หลักการคิดเหมือนกันเลยครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 14.1

สปสหน้า $x^{2m}$ ในเอกลักษณ์

$(1-x^2)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k(x^{2k})$

สปส หน้า $x^{2m}$ คือ $(-1)^m\binom{n}{m}$

ฝั่งขวา คือการเลือกสปสจาก $x^{i}$ ในพจน์ $(1-x)^n$ และ $x^{2m-i}$ ในพจน์ $(1+x)^n$

[FranceZii Siriseth]

16.1 $$\sum_{r=1}^{n}r^2\binom{n}{r}$$
$$=n\sum_{r=1}^{n}r\binom{n-1}{r-1}$$
$$=n\sum_{r=1}^{n}(r-1+1)\binom{n-1}{r-1}$$
$$=n\sum_{r=1}^{n}(r-1)\binom{n-1}{r-1}+n\sum_{r=1}^{n}\binom{n-1}{r-1}$$
$$=n(n-1)\sum_{r=1}^{n}\binom{n-2}{r-2}+n\sum_{r=1}^{n}\binom{n-1}{r-1}$$
$$=n(n-1)(2^{n-2})+n(2^{n-1})$$
$$=n(n+1)2^{n-2}$$