หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก

[pont494]

รบกวนช่วยเฉลยหน่อยครับ ถ้าอธิบายด้วยก็ยิ่งดี บางข้อทำไม่ได้ บางข้อไม่แน่ใจในคำตอบ จะนำไปใช้เป็นแนวมางทำข้อต่อๆไปครับ

1.จำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 1,000,000 กี่จำนวนซึ่งมีเลข 1,2,3,4 ปรากฏครบทั้งสี่ตัว

2.มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10,000 ทั้งหมดกี่จำนวน ซึ่งผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักมีค่าเป็น 25

3.มีผู้หญิง n คน ใส่ถุงมือมางานเลี้ยง เมื่อถึงงานก็ถอดรวมกันไว้ พอเลิกงานทุกคนก็หยิบถุงมือซ้ายและขวาอย่างละข้าง
จงหาจำนวนวิธีที่
3.1 ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองเลยแม้แต่ข้างเดียว
3.2 ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองครบทั้งสองข้าง

4.ทอดลูกเต๋า 10 ลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่จะขึ้นแต้มครบทุกแต้ม

5.แจกของแตกต่างกัน 10 สิ่งให้เด็ก 6 คน จะมีวิธีแจกกี่วิธี ถ้ามีเด็กเพียง 4 คนเท่านั้นที่ได้รับ

[pont494]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

5.แจกของแตกต่างกัน 10 สิ่งให้เด็ก 6 คน จะมีวิธีแจกกี่วิธี ถ้ามีเด็กเพียง 4 คนเท่านั้นที่ได้รับ

วิธีของผมเป็นอย่างนี้ครับ ใช้หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก ไม่รู้ถูกหรือเปล่าครับ รบกวนช่วยเช็คหน่อยครับ

เลือกคนมา 4 คนได้ $\binom{6}{4} $
วิธีที่แจกของแล้วเด็ก 4 คนนี้ได้รับทุกคน = วิธีแจกของทั้งหมด- วิธีที่แจกของแล้วมีเด็กบางคนไม่ได้รับ
วิธีแจกของทั้งหมด=$4^{10}$
วิธีแจกของแล้วมีเด็กบางคนไม่ได้รับ=$\binom{4}{1}*3^{10}-\binom{4}{2}*2^{10}+\binom{4}{3}*1^{10}$
วิธีที่แจกของแล้วเด็ก 4 คนนี้ได้รับทุกคน = $4^{10}-\binom{4}{1}*3^{10}+\binom{4}{2}*2^{10}-\binom{4}{3}*1^{10}$

ดังนั้นคำตอบ คือ $\binom{6}{4} *[4^{10}-\binom{4}{1}*3^{10}+\binom{4}{2}*2^{10}-\binom{4}{3}*1^{10}]$

[PURE MATH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

2.มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10,000 ทั้งหมดกี่จำนวน ซึ่งผลบวกของเลขโดดในแต่ละหลักมีค่าเป็น 25

ข้อสองผมลองทำแบบนี้ครับ ให้ $abcd$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 10,000 ซึ่งจำนวนที่เราต้องการเท่ากับจำนวนชุดคำตอบของ $a+b+c+d=25$ โดยที่ $0\leqslant a,b,c,d\leqslant 9$
โดยหลักการเพิ่มเข้า-ตัดออก จะได้เท่ากับ $\binom{25+4-1}{25}-\binom{4}{1}\ast \binom{15+4-1}{15} - \binom{4}{2}\ast \binom{5+4-1}{5} =348 $

[pont494]

ขอบคุณมากทั้งคุณ แฟร์ และ คุณ PURE MATH มากครับ
รบกวนทุกท่านสำหรับข้อ 3 และข้อ 4 ด้วยครับ

[PURE MATH]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

4.ทอดลูกเต๋า 10 ลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่จะขึ้นแต้มครบทุกแต้ม

ข้อ 4.ครับ ให้ $X$ เป็นจำนวนวิธีทั้งหมดในการทอดลูกเต๋า 10 ลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง ได้ทั้งหมด $6^{10}$ วิธี
$S_1$ แทนเซตของจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าที่ไม่ขึ้นแต้มที่ $i$ เมื่อ $1\leqslant i\leqslant 6$ เท่ากับ $\binom{10}{1}\ast 5^{10}$ วิธี
$S_2$ แทนเซตของของจำนวนวิธีที่ลูกเต๋าที่ไม่ขึ้นแต้มที่ $i$ และ $j$ เมื่อ $1\leqslant i,j\leqslant 6$ และ $i\not= j$ เท่ากับ $\binom{10}{2}\ast 4^{10}$ วิธี ที่เหลือก็ทำนองเดียวกัน
โดยหลัการเพิ่มเข้าตัดออกจะได้จำนวนวิธีทั้งหมดคือ $|X|-S_1+S_2-S_3+S_4-S_5=6^{10}-\binom{10}{1}\ast 5^{10}+\binom{10}{2} \ast 4^{10}-\binom{10}{3}\ast 3^{10}+\binom{10}{4}\ast 2^{10}-\binom{10}{5}\ast 1^{10}=3,124,754 $

[Amankris]

ลองอ่านเรื่อง derangement นะครับ

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494

3.มีผู้หญิง n คน ใส่ถุงมือมางานเลี้ยง เมื่อถึงงานก็ถอดรวมกันไว้ พอเลิกงานทุกคนก็หยิบถุงมือซ้ายและขวาอย่างละข้าง
จงหาจำนวนวิธีที่
3.1 ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองเลยแม้แต่ข้างเดียว
3.2 ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองครบทั้งสองข้าง

วิธีคิด

ให้ผู้หญิง n คน เป็น $ W_1, W_2, W_3, ..., W_n $

ถุงมือซ้ายและขวา ถือเป็นสิ่งของที่แตกต่างกัน

ให้ $ W_1 $ ใส่ถุงมือซ้าย $ L_1 $ และถุงมือขวา $ R_1, W_2 $ใส่ $L_2 $และ $ R_2, ... $

3.1 ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองเลยแม้แต่ข้างเดียว

จำนวนวิธีที่ $W_1 $ไม่ได้ใส่$ L_1 , W_2 $ไม่ได้ใส่ $L_2 , ... W_n $ไม่ได้ใส่ $L_n = D_n $

จำนวนวิธีที่ $ W_1 $ไม่ได้ใส่ $R_1 , W_2 $ไม่ได้ใส่$R_2 , ... , W_n $ไม่ได้ใส่ $R_n, = D_n $

จำนวนวิธีที่ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองเลยแม้แต่ข้างเดียว = $ (D_n)^2 $

3.2 ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองครบทั้งสองข้าง = จำนวนวิธีทั้งหมดในการแจกถุงมือซ้ายและขวา - จำนวนวิธีที่ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองเลยแม้แต่ข้างเดียว

จำนวนวิธีในการแจกถุงมือข้างหนึ่งให้ผู้หญิง n คน = $ n ! $

จำนวนวิธีในการแจกถุงมืออีกข้างหนึ่งให้ผู้หญิง n คน = $ n ! $

จำนวนวิธีทั้งหมดในการแจกถุงมือซ้ายและขวา = $ (n!)^2 $

จำนวนวิธีที่ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองเลยแม้แต่ข้างเดียว = $ (D_n)^2 $

จำนวนวิธีที่ไม่มีใครได้ถุงมือตัวเองครบทั้งสองข้าง = $ (n!)^2 - (D_n)^2 $