โจทย์สัมประสิทธิ์ทวินาม

[Pitchayut]

รบกวนช่วยเฉลยโจทย์ 2 ข้อข้างล่างนี้หน่อยครับ (เอามาจากหนังสือ สอวน. คอมบินาทอริก บทที่ 2 ข้อที่ 21.7 - 21.8)

21.7 จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{r = 0}^{m} {\binom{m}{r}\binom{n}{r}\binom{p+r}{m+n}}=\binom{p}{m} \binom{p}{n} $$
เมื่อ $m$, $n$ เป็นจำนวนนับ และ $p$ เป็นจำนวนนับซึ่ง $p\geqslant m, n$

21.8 จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{r = 0}^{m} {\binom{m}{r}\binom{n}{r}\binom{p+m+n+r}{m+n}}=\binom{p+m}{m} \binom{p+n}{n} $$
เมื่อ $m$, $n$, $p$ เป็นจำนวนนับ

[polsk133]

ทำไมแทนpด้วย p+m+n ใน 2.7 แล้วไม่ได้ 2.8 ?????

[Pitchayut]

ผมคิดว่าข้อ 21.8 น่าจะผิด เพราะจากข้อ 21.7 และข้อ 21.8 ตามที่คุณ polsk133 บอก จะได้ว่า $$\binom{p+m+n}{m}\binom{p+m+n}{n}=\binom{p+m}{m}\binom{p+n}{n}$$
แต่ทีนี้พอแทน $p=m=n=1$ จะได้ว่า
$$\binom{3}{1} \binom{3}{1}=\binom{2}{1} \binom{2}{1} $$
หมายความว่า $3\times 3 = 2\times 2$ ดังนั้น $9=4$ ??

[Pitchayut]

เอางี้ ถ้างั้นคิดข้อ 21.7 ไปก่อนก็แล้วกันครับ