ขอความกรุณาช่วยคิดสองข้อนี้ด้วยค่ะ

[juju]

ข้อแรก
ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดใด สมมติว่า O เป็นจุดภายในของรูปสามเหลี่ยม และ AO, BO, CO พบด้านตรงข้ามที่จุด D,E,F ตามลำดับ จงแสดงว่า
\[\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AO}{OD}\]

ข้อสอง
ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดใด ต่อด้าน BC ผ่านจุด C ไปยังจุด D ที่ทำให้ CD=AC ให้ P เป็นจุดตัดที่สองของวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยม ACD กับวงกลมที่มี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้ BP และ AC พบกันที่จุด E และให้ CP และ AB พบกันที่จุด F จงพิสูจน์ว่า D,E,F อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[Spotanus]

ข้อแรก
ใช้ทฤษฎีบทของเมเนอลอสครับ
เนื่องจาก B,O,E อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ดังนั้น \[\frac{AO}{OD}\bullet\frac{DB}{BC}\bullet\frac{CE}{EA}=1\]
(ไม่สนใจทิศทาง)
จะได้ว่า \[\frac{AO}{OD}\bullet\frac{DB}{BC}=\frac{AE}{EC}\]
ในทำนองเดียวกัน
\[\frac{AO}{OD}\bullet\frac{DC}{CB}=\frac{AF}{FB}\]
นำสองสมการมาบวกกันจะได้
\[\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AO}{OD}\]
(เนื่องจาก BD+DC=BC)

[kartoon]

ข้อที่ 2.
ลาก DE ตัดกับ AB ที่ F'
D, E, F' จึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ ถ้าเราแสดงให้เห็นได้ว่า F และ F' คือจุดๆเดียวกัน

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และเส้นตัด DEF'
จะได้ว่า (AF'/BF')*(BD/CD)*(CE/AE) = 1 ........(1)

พิจารณาสามเหลี่ยม ABE และเส้นตัด FPC
จะได้ว่า (AF/BF)*(BP/EP)*(CE/AC) = 1 ........(2)

ต่อ BE ออกไปตัดวงกลมที่จุด G
จะได้ว่า EP*EG = AE*CE
หรือ EP/AE = CE/EG ...................................(3)

เนื่องจากมุม CPG เป็นมุมฉาก CG จึงเป็น diameter ของวงกลม
และจาก AC = CD ดังนั้นมุม ACG = มุม DCG

พิจารณาสามเหลี่ยม BCE และเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอก (มุม ECD)
จาก angle bisector theorem
จะได้ว่า BC/CE = BG/EG หรือ BC/BG = CE/EG .......(4)

จาก Power of point B และวงกลม...
BC*BD = BP*BG หรือ BC/BG = BP/BD ..............(5)

จาก (3), (4), (5)
CE/EG = BP/BD = EP/EA หรือ BP/EP = BD/AE.......(6)

แทนค่า (6) ใน (2) และจาก AC = CD
(AF/BF)*(BD/CD)*(CE/AE) = 1

ดังนั้น AF/BF =AF'/BF'

F และ F' คือจุดๆเดียวกัน

[SPLASH]

ขอบคุณคุณkartoonมากเลยครับ พอดีข้อนี้ผมทำตั้งนานยังไม่ได้เก่งมากเลยครับ

[juju]

ขอบคุณทุกท่านที่ช่วยตอบนะคะ
มีข้อใหม่อีกข้อช่วยตอบให้ด้วยนะคะ
ขอบคุณค่ะ