ช่วย หน่อยครับ โจทย์Number Theory สอวน

[ณัฐพัชร์ ชุมช่วย(อาร์ม)]

จงแสดงว่า ผลคูณของจำนวนนับ 3จำนวนที่เรียงติดกันไม่เป็นกำลัง2สมบูรณ์

[poper]

ถ้าเราให้ $n$ เป็นจำนวนนับใดๆ จะได้ว่าผลคูณของจำนวนนับ 3 จำนวนที่เรียงติดกันคือ

$n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$ ซึ่งก็น่าจะเห็นชัดว่าไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ครับ

[Napper]

ผมว่าเหตุผลมันดูแปลกนะครับ สมมติเป็น $n^3+7n+3$ เราบอกว่ามันไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ในขณะที่เมื่อ n=2 เราได้ว่ามันเป็น 25

[poper]

นั่นสินะครับ ผมมองผิดไป คิดว่ามันทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้

[polsk133]

hint ((n)(n+2),n+1)=1

[mathph]

ให้
$n(n+1)(n+2)=k^2$
$n^3+3n^2+2n=k^2$
$n^2+3n+2=\dfrac{k^2}{n}$
$(n+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{k^2}{n}$
$(n+\dfrac{3}{2}+\dfrac{k}{\sqrt{n}})(n+\dfrac{3}{2}-\dfrac{k}{\sqrt{n}})=\dfrac{1}{2}$
ถ้าให้nเป็นจำนวนนับจะเห็นว่า k/sqrt(n) ไม่ใช่จำนวนนับด้วย ดังนั้นเราไม่สามารถแยกแฟกเตอร์ในข้อนี้ได้หรือถ้าจะแยกได้nต้องไม่ใช่จำนวนนับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mathph

ให้
$n(n+1)(n+2)=k^2$
$n^3+3n^2+2n=k^2$
$n^2+3n+2=\dfrac{k^2}{n}$
$(n+\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{k^2}{n}$
$(n+\dfrac{3}{2}+\dfrac{k}{\sqrt{n}})(n+\dfrac{3}{2}-\dfrac{k}{\sqrt{n}})=\dfrac{1}{2}$
ถ้าให้nเป็นจำนวนนับจะเห็นว่า k/sqrt(n) ไม่ใช่จำนวนนับด้วย ดังนั้นเราไม่สามารถแยกแฟกเตอร์ในข้อนี้ได้หรือถ้าจะแยกได้nต้องไม่ใช่จำนวนนับ

คิดว่าถูกไหมครับ

[Pitchayut]

มันทำอย่างนี้หรือเปล่าช่วยดูให้หน่อยครับ

สมมุติ $n(n+1)(n+2)$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์

เนื่องจาก $\gcd(n(n+2), n+1))=\gcd((n+1)^2-1, n+1)=\gcd(1, n+1)=1$

ดังนั้นจะได้ว่า $n(n+2)$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์

แต่ว่า $n^2<n(n+2)=(n+1)^2-1<(n+1)^2$ แสดงว่า $n(n+2)$ ไม่มีทางเป็นกำลังสองสมบูรณ์จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้นครับ