พิสูจน์ แฟกทอเรียล

[Kikapoo]

ช่วยใบ้หน่อยครับ ไม่รู้จะเริ่มยังไงดี

ให้ n เป็นจำนวนนับ พิสูจน์ว่า $$\frac{1}{1!} \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}$$
เป็นจำนวนเต็ม ก็ต่อเมื่อ n = 1

[computer]

พิสูจน์ขาไป

สมมติว่า $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!} = m \in \mathbb{I} $ โดย $n>1$

$\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\frac{n!}{3!}+...+\frac{n!}{n!} = mn!$

เนื่องจาก $n|\frac{n!}{k!}$ ทุก $k=1,2,...,n-1$ และ $n|mn!$

ดังนั้น $n|\frac{n!}{n!}=1$ ขัดแย้ง

ดังนั้น $n\leq1$ คือ $n=1$

ขากลับ แทน n=1 จะได้ว่าเป็นจำนวนเต็มค่ะ