Number theory

[Thamma]

1.
จำนวนเต็มบวก a, b, c สอดคล้องกับสมการ

$ c(ac+1)^2 = (5c+2b)(2c+b) $

c เป็นจำนวนคู่ได้หรือไม่

2.
จงหาจำนวนเต็มบวกคี่ n ทั้งหมดที่ $ \;n \mid 3^n + 1 $

[Thgx0312555]

1. สมมติว่า $c$ เป็นจำนวนคู่ที่สอดคล้อง
Let $d = \gcd (c/2,b)$, $c=2dc'$, $b=db'$ จะได้ $\gcd(b',c')=1$

จัดรูป $c(ac+1)^2=(5c+2b)(2c+b)$

$c'(2adc'+1)^2=d(5c'+b')(4c'+b') \qquad ...(1)$

$c' \mid d(5c'+b')(4c'+b') \rightarrow c' \mid d$
$d \mid c'(2adc'+1)^2 \rightarrow d \mid c'$

$\therefore c'=d$

จัดรูป $(1)$ ใหม่เป็น $(2ac'^2+1)^2=(5c'+b')(4c'+b') \qquad ...(2)$

Since $\gcd (5c'+b',4c'+b') = \gcd (c',b') = 1$

Let $5c'+b' = k^2, 4c'+b'=l^2$

$c'=k^2-l^2 \ge k^2-(k-1)^2 = 2k-1 \rightarrow k \le \frac{c'+1}{2}$
$l \le k-1 \le \frac{c'-1}{2}$

$\therefore (5c'+b')(4c'+b') = k^2l^2 \le (\frac{(c'-1)(c'+1)}{4})^2 \le (c'^2-1)^2 < (2ac'^2+1)^2$

ซึ่งขัดแย้งกับ $(2)$

[Thamma]

เข้าใจแล้วค่ะ
ขอบคุณ คุณ Thgx0312555 มากๆ นะคะ

รบกวนผู้รู้ช่วยแนะนำแนวคิดของข้อ 2 ด้วยนะคะ

[กขฃคฅฆง]

เห็นได้ว่า $3\nmid n$

ถ้า $n>1$ ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่เป็นตัวประกอบของ $n$

จะได้ว่า $p>3$ , $3^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $ และ $3^{2n} \equiv 1 \pmod{p} $

จาก $(n,p-1)=1$ จะได้ว่า $(2n,p-1)=2$ จะได้ว่ามี $x,y \in \mathbb{N} $ ที่ $(2n)x-(p-1)y=2$

จาก $3^{(p-1)y} \equiv 1 \pmod{p} $ และ $3^{(2n)x} \equiv 1 \pmod{p} $ จะได้ว่า $3^2 \equiv 1 \pmod{p}$ ขัดแย้ง

ดังนั้น $n=1$

[Thamma]

วิธีน่าสนใจค่ะ

ขอบคุณ คุณ กขคฅฆง นะคะ