ลิฟต์ ตั้งสมการผิด

[Scylla_Shadow]

สวัสดีค่ะ

เมื่ออาทิตย์ก่อนมีคนถามมาเกี่ยวกับโจทย์ข้อนี้ ส่วนตัวยังงงๆอยู่ ไม่ทราบว่าตั้งสมการผิดยังไง (logic ตรงไหนผิด) มันดูเหมือนว่าน่าจะถูกแล้ว

เลยมารบกวนผู้รู้ว่า สมการทั้งตั้งมามีข้อบกพร่องที่ควรจะได้รับการแก้ไขอย่างไรค่ะ

คำตอบคือ $n-n \left ( 1- \dfrac{1}{n} \right )^p$

ปล. โจทย์ข้อนี้มาจากเรื่อง Indicator random variables แต่พยายามหาวิธีโดยไม่ใช้เรื่องนี้อยู่ค่ะ (นั่นคือพยายามนั่งนับตรงๆ ซึ่งก็ออกมาเป็นแบบที่เห็น)

ขอบคุณมากค่ะ

ปล. 2 บรรทัดที่สอง แก้เป็น ความน่าจะเป็นที่จะลงลิฟต์ "แต่ละชั้น" ... ค่ะ

[อัศวินมังกรแดง]

ไม่ค่อยเข้าใจโจทย์อะครับ
1.มีลิฟท์กี่ตัว เห็นตอนแรกบอกมี "ตัวหนึ่ง" แต่บรรทัดที่สองบอก "ลงลิฟท์แต่ละตัวเท่ากัน" มันต้องเป็น "ลงแต่ละชั้น" หรือเปล่าครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อัศวินมังกรแดง

ไม่ค่อยเข้าใจโจทย์อะครับ
1.มีลิฟท์กี่ตัว เห็นตอนแรกบอกมี "ตัวหนึ่ง" แต่บรรทัดที่สองบอก "ลงลิฟท์แต่ละตัวเท่ากัน" มันต้องเป็น "ลงแต่ละชั้น" หรือเปล่าครับ

ใช่ค่ะ แก้เป็น "แต่ละชั้น" ค่ะ

[อัศวินมังกรแดง]

ผมได้ว่า$\sum_{i = 1}^{k} \frac{\binom{n}{k}\binom{k}{i} }{\binom{n}{i} }a_i=\binom{n}{k}(\frac{k}{n} )^p $อะครับ

[Thgx0312555]

ต้องเป็น $a_1+a_2+\cdots+a_k=\left( \frac{k}{n} \right)^p$ รึเปล่าครับ

แล้วก็วิธีนี้น่าจะถูกแล้วนะ อยากทราบอีกวิธีนึงว่าทำยังไง
ช่วยแสดงอีกวิธีให้ดูหน่อยครับ

[อัศวินมังกรแดง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ต้องเป็น $a_1+a_2+\cdots+a_k=\left( \frac{k}{n} \right)^p$ รึเปล่าครับ

แล้วก็วิธีนี้น่าจะถูกแล้วนะ อยากทราบอีกวิธีนึงว่าทำยังไง
ช่วยแสดงอีกวิธีให้ดูหน่อยครับ

ลองแทน k=1 n=4 p=4 ดู
$a_1=\frac{1}{4^4}$
$a_2=\frac{\binom{4}{2}(2^4-2) }{4^4}=\frac{21}{64}$
$a_1+a_2=\frac{85}{256}$

[Thgx0312555]

ทำไมถึงได้ $a_2$ เป็นเท่านั้น ขอวิธีทำโดยละเอียดด้วย

[อัศวินมังกรแดง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ทำไมถึงได้ $a_2$ เป็นเท่านั้น ขอวิธีทำโดยละเอียดด้วย

เลือก 2 เลขได้ $\binom{4}{2} =6$ วิธีแต่ละแบบได้ดังนี้ (ให้ตัวเลขแรกเป็น 1 ,ตัวที่สองเป็น 2 ,คนที่ 1,2,3,4 ไปชั้นที่ x,y,z,w ตามลำดับเขียนเป็น (x,y,z,w))
(1,1,1,2)
(1,1,2,1)
(1,1,2,2)
(1,2,1,1)
(1,2,1,2)
(1,2,2,1)
(1,2,2,2)
(2,1,1,1)
(2,1,1,2)
(2,1,2,1)
(2,1,2,2)
(2,2,1,1)
(2,2,1,2)
(2,2,2,1)
ได้ 14 แบบครับ
คิดเป็นความน่าจะเป็นได้ $\frac{6\times 14}{256}=\frac{21}{64} $ ครับ

[Thgx0312555]

ตอนแรกเข้าใจว่าโจทย์ถามหาชั้นสุดท้ายที่ลิฟต์จอด
แต่ถ้าทำแบบนี้ก็จะเป็นจำนวนครั้งที่ลิฟต์จอด??

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อัศวินมังกรแดง

ผมได้ว่า$\sum_{i = 1}^{k} \frac{\binom{n}{k}\binom{k}{i} }{\binom{n}{i} }a_i=\binom{n}{k}(\frac{k}{n} )^p $อะครับ

งั้นสมการนี้ก็ถูกแล้ว เพราะว่าเลือกมา $k$ ชั้น แล้วจะมีการนับกรณี $i$ ชั้น $(i<k)$ ซ้ำ $\binom{n-i}{k-i}$ ครั้ง

กล่าวคือให้ $A$ เป็นเซตขนาด $i$ จะมีเซตขนาด $k$ อยู่ $\binom{n-i}{k-i}$ ที่เซต A เป็นสับเซต

จะได้ $\sum_{i = 1}^{k} \binom{n-i}{k-i}a_i=\binom{n}{k}(\frac{k}{n} )^p $

[อัศวินมังกรแดง]

จากนั้นก็ดูเฉพาะเคส k=n-1
$\sum_{i = 1}^{n-1} \binom{n-i}{n-(n-1)}a_i=\binom{n}{n-1}(\frac{n-1}{n} )^p $
$\sum_{i = 1}^{n-1} (n-i)a_i=n(\frac{n-1}{n} )^p $
ซึ่ง $\sum_{i = 1}^{n} na_i=n$
$\therefore \sum_{i = 1}^{n} ia_i=n-n(1-\frac{1}{n})^p$

[Scylla_Shadow]

ขอบคุณสำหรับคำตอบค่ะ

สำหรับโจทย์ข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดเรื่อง indicator random variables (ตัวแปรบ่งชี้? ไม่แน่ใจภาษาไทย)

โดย official solution นั้นกำหนด $X$ คือ random variable (ตัวแปรสุ่ม) และคือจำนวนชั้นที่ลิฟต์หยุด

$I_k$ เป็นตัวบ่งชี้ และ $I_k=1$ เมื่อลิฟต์หยุดที่ชั้น $k$

และ $I_k=0$ เมื่อลิฟต์ไม่หยุดที่ชั้น $k$ เราจะได้ว่า

$X=I_1+I_2+I_3+...+I_n$ และ

$P(I_k=0)=\left ( 1-\dfrac{1}{p} \right )^n$ และ $P(I_k=1)=1-\left ( 1-\dfrac{1}{p} \right )^n$

นั่นคือ $E[X]=\sum_{j = 1}^{n} P(I_j=1)=n-n\left (1-\dfrac{1}{p} \right )^n $