โจทย์ 2 ข้อ

[กขฃคฅฆง]

1. นักเรียน 49 คนแก้โจทย์ 3 ข้อ แต่ละข้อมีคะแนนคือ 0,1,2,3,4,5,6,7 จงแสดงว่ามีนักเรียนสองคนคือ A และ B ที่ในแต่ละข้อ A ได้คะแนนไม่น้อยกว่า B

2. ให้ $M= \{2·1, 2·2, 2·3, ..., 2·n \}$ เป็นมัลติเซต
$\{i_1, i_2, ... , i_k \} $ เป็นสับเซตของ $M$ โดยที่ $i_1 \geqslant i_2 \geqslant ...\geqslant i_k$ ให้แต้มของสับเซตนี้เท่ากับ $i_1-i_2+i_3-...+(-1)^{k-1}i_k$ เช่น $\{1,1,2,3,6 \}$ มีแต้มคือ 6-3+2-1+1 = 5 จงหาผลรวมของแต้มของสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างทั้งหมดของ $M$

[Thgx0312555]

1.Sol สั้นๆแต่ยากมาก
ให้นักเรียนแต่ละคนแทนด้วย $(a_i,b_i,c_i), i=1,2,...,49$

สังเกตว่านักเรียนแต่ละคนจะมี $(b_i,c_i)$ แตกต่างกัน
แบ่งกลุ่มนักเรียนเป็น 8 กลุ่มตาม $\max\left\{ 7-b_i,c_i\right\}$
โดยมีค่าได้ดังนี้
$\max\left\{ 7-b_i,c_i\right\}=0,1,2,3,4,5,6,7$

$\max\left\{ 7-b_i,c_i\right\}=0$ มีนักเรียนได้แค่ 1 คน คือ $(7,0)$
$\max\left\{ 7-b_i,c_i\right\}=1$ มีนักเรียนได้แค่ 3 คน คือ $(6,0),(6,1),(7,1)$
$\max\left\{ 7-b_i,c_i\right\}=2$ มีนักเรียนได้แค่ 5 คน คือ $(5,0),(5,1),(5,2),(6,2),(7,2)$
$\max\left\{ 7-b_i,c_i\right\}=3$ มีนักเรียนได้แค่ 7 คน คือ $(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(5,3),(6,3),(7,3)$

ดังนั้นกลุ่มที่เหลืออีก $4$ กลุ่มต้องมีนักเรียนอย่างน้อย $33$ คน

โดยหลักรังนกพิราบต้องมีกลุ่มนึงที่มี $9$ คน

โดยหลักรังนกพิราบต้องมีสองคนที่ $a_i=a_j$
สังเกตว่าคนในกลุ่มเดียวกันจะมี $b_i \le b_j, c_i \le c_j$ หรือ $b_j \le b_i, c_j \le c_i$

so we are done

[กขฃคฅฆง]

รบกวนขออีกข้อหน่อยครับ ขอบคุณครับ