พิสูจน์ข้อนี้ให้ หน่อยครับ......งงมาก

จงพิสูจน์ว่า ทุกๆครั้งที่เลือกจํานวนเต็มมา 3 จํานวนที่ต่างกัน
จะมีจํานวนเต็ม 2 จํานวน ใน 3 จํานวนนี้เสมอ เรียกว่าa,b
ซึ่ง a ไม่เท่ากับ b เเละa^3b-ab^3 มี10 เป็นตัวประกอบ

จะลองคิดให้นะครับ

(a^3)b - a(b^3)
= ab(a^2 - b^2)
= ab(a + b)(a - b)

เนื่องจากตัวประกอบของ 10 คือ 2 และ 5 และ 2 หาร ab(a + b)(a - b) ลงตัวเสมอ ดังนั้น หาก 5 หาร (a^3)b - a(b^3) ลงตัว จะได้ว่า 10 หาร (a^3)b - a(b^3) ลงตัวเช่นกัน

สมมติว่าเราเลือกจำนวนมาสองจำนวนที่ต่างกันคือ a และ b โดยที่ทั้งสองจำนวน ไม่เป็นไปตามความสัมพันธ์ดังกล่าว คือ 10 หาร (a^3)b - a(b^3) ไม่ลงตัว จะแสดงให้เห็นว่า จำนวนที่สามคือ c ที่เลือกมาจะทำให้คู่ (a,c) หรือ (b,c) เป็นไปตามความสัมพันธ์ดังกล่าวเสมอ

จาก a และ b ที่เลือกมาให้ 5 หาร ab(a + b)(a - b) ไม่ลงตัว จะได้ว่า
5 หาร a ไม่ลงตัว ---(1) และ
5 หาร b ไม่ลงตัว ---(2) และ
5 หาร (a + b) ไม่ลงตัว ---(3) และ
5 หาร (a - b) ไม่ลงตัว ---(4)

จาก (1) และ (2) จะได้ว่า
a = 5m + i โดยที่ 1 <= i <= 4 ---(5)
b = 5n + j โดยที่ 1 <= j <= 4 ---(6)

จาก (3) จะได้ว่า i + j != 5 ---(7)

จาก (4) จะได้ว่า i - j != 0 หรือ i != j ( != หมายถึง ไม่เท่ากับ) ---(8)

เนื่องจากจำนวนที่สามที่เลือกมาคือ c สามารถเขียนได้ป็น
c = 5p + k โดยที่ 0 <= k <= 4 ---(9)

ในกรณีที่ k = 0 จะได้ว่า ทั้งคู่ (a,c) และ (b,c) ต่างก็เป็นไปตามความสัมพันธ์ทั้งคู่ (จาก 5 หาร c ลงตัว)
ในกรณีที่ 1 <= k <= 4 สามารถแยกเป็นกรณีย่อย 2 กรณีได้เป็น
1. ในกรณีที่ k = i หรือ k = j จะได้ว่าคู่ (a,c) หรือ (b,c) เป็นไปตามความสัมพันธ์ (จาก 5 หาร (a - c) ลงตัว หรือ 5 หาร (b - c) ลงตัว)
2. ในกรณีที่ k != i และ k != j เนื่องจาก i + j != 5 และ i != j จึงมี s และ t ที่ทำให้
i + s = 5 โดยที่ 1 <= s != j <= 4
j + t = 5 โดยที่ 1 <= t != i <= 4
โดยที่ 1 <= i != j != s != t <= 4 (i , j , s และ t ไม่มีค่าใดซ้ำกันเลย)
จึงได้ว่า k = s หรือ k = t ซึ่งทำให้ได้ว่าคู่ (a,c) หรือ (b,c) เป็นไปตามความสัมพันธ์ (จาก 5 หาร (a + c) ลงตัว หรือ 5 หาร (b + c) ลงตัว)