โจทย์ข้อที่หนึ่ง

วันนี้ลองเอาโจทย์มาให้ 2 ข้อเป็นการชิมลางดูสิว่าจะมีใครเล่นด้วยรึเปล่า
โจทย์ข้อแรกคือ ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มที่สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของเลขกำลังสองสมบูรณ์สองจำนวน
ให้พิสูจน์ว่า mn ก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของผลบวกของเลขกำลังสองสมบูรณ์สองจำนวนได้เช่นกัน

เห็นไม่มีคนตอบซักที ผมขอตอบเลยละกันครับ
ให้ m = a^2 + b^2
n = c^2 + d^2
mn = (ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2
บวก 2abcd - 2abcd เข้าไป
mn = [(ac)^2 + 2abcd + (bd)^2] + [(ad)^2 - 2abcd + (bc)^2]
mn = [ac+bd]^2 + [ad - bc]^2
แค่นี้แหละครับ
น่าสนใจดีนะครับ
ผมอยากรู้เหมือนกันว่ามันเป็นทฤษฎีบทอะไรรึป่าว ดูมันมีประโยชน์ดีนะครับ
ฝากถามเจ้าของกระทู้หน่อย

ขอแสดงความยินดีกับคุณ Rudolph ด้วยครับ คุณคือผู้ตอบถูกเป็นคนแรก
จริงๆแล้วการตอบคำถามของผมทั้งสองข้อไม่จำเป็นต้องใช้ความรู้เกินม.6 เลย
เพียงแต่อาจต้องมีการพลิกแพลงกันบ้าง และเพื่อความแปลกใหม่ผมก็เลยเอา
โจทย์ที่ไม่ได้มาจากข้อสอบแข่งขันใดๆ(เท่าที่รู้นะครับ)
สำหรับในคำถามข้อแรกเนี่ยเป็นผลที่ตามมาโดยตรงของสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนที่ว่า
โมดูลัสของผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนมีค่าเท่ากับ ผลคูณของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนทั้งสองนั้น
|z1*z2| = |z1|*|z2| (พิสูจน์ได้โดยง่ายโดยใช้ polar form)
นั่นคือ
|a+bi|*|c+di| = |(a+bi)(c+di)| = |(ac-bd)+(ad+bc)i|
ซึ่งก็คือ
(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2
ส่วนในกรณีคำตอบของคุณ Rudolph เนี่ยจะเป็นการใช้ |a-bi|*|c+di| แทน แค่นี้เองล่ะครับ
ยังไงก็ตามถ้ามีท่านผู้รู้ท่านใดทราบรายละเอียดอะไรที่ลึกซึ้งไปกว่านี้ ช่วยบอกมาด้วยนะครับ
ขอบคุณคุณ Rudolph นะครับที่ช่วยทำให้คำถามของผมไม่เป็นหมัน

น่าสนใจดีครับ
ใช้เชิงซ้อนแล้ว มันเป็นเรื่องง่าย ๆ อย่างนี้นี่เอง
เผอิญผมเคยเห็นเรื่องเกี่ยวกับจำนวนที่สามารถแยกเป็นผลบวกของกำลังสัมบูรณ์ได้นะครับ
คิดว่าโจทย์ข้อนี้อาจจะเป็นทฤษฎีหนึ่ง