USSR ploblem

[kaito]

prove that 2222^5555 + 5555^2222 is divisible by 7

[kaito]

Find the last 1000 digits og the number
N=1+50+50^2+50^3+...+50^999

[nongtum]

เอาข้อแรกไปก่อนละกัน เนื่องจาก
\(2222\equiv{}3,\ 2222^2\equiv{}2,\ 2222^3\equiv{}6,\ 2222^4\equiv{}4,\ 2222^5\equiv{}5,\ 2222^6\equiv{}1(mod7)\)
และ \(5555\equiv{}4,\ 5555^2\equiv{}2,\ 5555^3\equiv{}1(mod7)\)
cyclic จะได้ว่า \(2222^{5555}\equiv5, 5555^{2222}\equiv2(mod7)\)
นั่นคือ ผลรวมของทั้งสองตัว(เทอมที่โจทย์ให้มา)หารด้วยเจ็ดลงตัว ###

ปล. ข้อสองแน่ใจนะครับว่าให้หาทั้งพันหลัก (หากแค่สามตัวท้าย ก็คือ 551)

[kaito]

ไม่แน่ใจว่า 1000 หรือ 100 แต่ไม่ใช่แน่ 3 ตัวค่ะ

[gon]

หฤโหดมากครับข้อนี้ ผมสังหรณ์ใจว่าผมรู้ว่าจะทำยังไง แต่ยังไม่มีเวลาศึกษาเรื่องนั้นครับ. ใครเป็นผู้เชี่ยวชาญด้าน Number Theory อาจจะอยากลองคิดดูนะครับ. ตอนนี้โกงจาก Mathematica มาให้ มันมีรูปแบบของมันอยู่ รูปแบบที่ว่าก็คือ ประมาณพันกว่าตัวแรก มันจะมีคาบคือ จำนวน

469387755102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959\
183673

ส่วนเลขที่เลขลงท้ายคือ 4693877551

ถ้านับถอยไป ก็เจอได้คำตอบครับ.

[warut]

จะเห็นว่า\[N=1+50+50^2+\dots+50^{999}\]\[=\frac{50^{1000}-1}{49}=
\bigg\lfloor\frac{50^{1000}}{49}\bigg\rfloor=
\bigg\lfloor\left(\frac{5^{1000}}{49}\right)\cdot10^{1000}\bigg\rfloor\]เนื่องจาก\[5^{1000}\equiv16\pmod{49}\]ดังนั้นเลข 1000 หลักท้ายของ N ก็คือ\[\bigg\lfloor\left(\frac{16}{49}\right)\cdot10^{1000}\bigg\rfloor\]ถ้าเรารู้ว่า\[\frac{16}{49}=
0.\dot32653061224489795918367346938775510204081\dot6\]เราก็จะได้คำตอบออกมาทันทีครับ แต่ผมไม่ทราบว่ามีวิธีง่ายๆที่จะหาค่าของ 16/49 ออกมาเป็นเลขทศนิยมหรือเปล่า

[gon]

เย่ ๆ ต่อจนจบอีกจนได้ ขอบคุณคุณ warut มากครับ. ฮิ ๆ

การแปลง 16/49 เป็นทศนิยมสามารถหาได้ง่าย ๆ โดยใช้วิชา Vedic Mathematics ครับ.
เริ่มต้นเขียน 16/49 เป็น 16/50 จากนั้นเลื่อนจุดทศนิยมไป 1 ตำแหน่งคือเป็น 1.6/5.0 หรือ

\(\frac{1.6}{5}\) จากนั้นก็ทำแบบนี้ครับ.
หาร 1.6 ด้วย 5 ได้ 0.3 เศษ 1 เขียนเป็น 0.₁3 (เขียนเศษเยื้องไว้ทางซ้ายมือของผลลัพธ์)

จากนั้นให้เรามองแบบเฉียง ๆ ว่าตัวตั้งตอนนี้ คือ 13 แล้วเอา 5 ไปหาร 13 ได้ 2 เศษ 3 ก็จะเขียนเป็น 0.₁3 ₃2

มองว่าตัวตั้งตอนนี้ คือ 32 เอา 5 ไปหาร 32 ได้ 6 เศษ 2 ก็จะเป็น 0.₁3₃2₂6

จากนั้นก็มองว่าตัวตั้งเป็น 26 แล้วก็ทำแบบนี้ไปเรื่อย ๆ จนทศนิยมเริ่มซ้ำครับ.

[warut]

ว้าว...ในที่สุดคุณ gon ก็ได้แสดงให้เห็นถึงพลังอันร้ายกาจที่เกิดจากการฝึกเคล็ดวิชา Vedic Math ที่เคยพูดถึงไว้ น่าสนใจดีครับ