สูตรทรงกลมยอดตัด

[ไซโคลน]

ใครรู้สูตรรบกวนช่วยเอ่ยมาด้วยครับและขอที่มาด้วย

[TitanTS]

คล้ายๆกับการมีภาชนะรูปทรงกลมแต่มีน้ำอยู่ไม่เต็มใช่ไหม
ก็การความรู้ cal ช่วยสิครับ

วิธีที่ 1
กรณีมีของเหลวมากกว่าครึ่งทำให้เราพิจารณาแค่ครึ่งทรงกรมที่มีทั้งน้ำทั้งอากาศได้
ให้วงกลมรัศมี R ให้น้ำสูงจาก ครึ่งทรงกลมขึ้นมา H
นึกภาพเราจะทำการตัดทรงกลมที่ไม่เต็มนี้ออกเป็นแผ่นรูปวงกลมบางๆเล็กๆ
ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงกลมแต่ละวงกับระยะห่างจากจุดกึ่งกลางทรงกลมสัมพันธ์เป็น
$R^2 = r^2 + h^2$ แบบพิทากอรัส โดย r เป็นรัศมีวงกลมเล็กแต่ละวง h เป็นระยะจากจุดกึ่งกลางวงกลมที่กึ่งกลางทรงกลม

เราจะได้ว่าวงกลมแต่ละวงจะมีขนาดพื้นที่เป็น
$\pi r^2 = \pi (R^2-h^2)$
ได้สมการนี้แล้วทำการรวมพื่นที่วงกลมเป็น ทรงกลม เหมือนรวมพื้นที่ใต้กราฟ ตั่งแต่วงกลมที่อยู่ติดกับจุดกึ่งกลางของทรงกลมไปจึนถึง
$\int_{0}^{\ H} \pi (R^2-h^2) \,dh $
$=\pi (\int_{0}^{\ H} R^2-h^2 \,dh)$ ค่าคงที่ดึงออกมาได้
$=\pi ( \int_{0}^{\ H} R^2 \,dh - \int_{0}^{\ H} h^2 \,dh)$
$=\pi (hR^2 - \frac{h^3}{3} )$ h ตั้งแต่ 0 ถึง H
$=\pi (HR^2 - \frac{H^3}{3} - (0)R^2 + \frac{0^3}{3} )$
$=\pi (HR^2 - \frac{H^3}{3} )$

เป็นอันเสร็จครับลองแทน H = R คือเต็มครึ่งทรงกลมนี้ก็จะได้ $\frac{2}{3} \pi R^3$ สิ่งที่เรารู้จักพอดี

วิธีที่สอง
เราก็ตัดทรงกลมอีก แต่ที่นี้ตัดตามแนวส่วนสูง และใช้แค่วงกลมที่ใหญ่ที่สุด(ที่จริงมันเป็นรูปวงกลมขาดๆ) แล้วตัดอีกครึ่งหนึ่ง
คำนวนหาพื้นที่มันซะ เข้าสูตร $\int_{ }^{\ } \pi r^2 \,dx$
ก็เหมือนกับเรามีเหลียญอยู่แล้วก็หมุนเร็วเราก็จะเห็นเป็นรูปทรงกลมเช่นกลันครับ....