cos nx, sin nx

[C H O]

พิจารณาจำนวนเชิงซ้อนในรูปโพล่าร์ $\cos x + i\sin x$
การหาค่าของ $(\cos x + i\sin x)^n$ โดย $n \in N$ สามารถทำได้ 2 วิธี
วิธีแรก ใช้ทฤษฎีบทของเดอมัวร์
$(\cos x + i\sin x)^n=\cos nx + i\sin nx$
วิธีที่สอง ใช้ทฤษฎีบททวินาม
$\begin{array}{rcl}
(\cos x + i\sin x)^n & = & \binom{n}{0}\cos^n x + \binom{n}{1}\cos^{n-1} x i\sin x + ...\\
& = & \left(\binom{n}{0}\cos^n x + \binom{n}{2}\cos^{n-2} x \cdot i^2\sin^2 x + ... \right)
+\left(\binom{n}{1}\cos^{n-1} x \cdot i\sin x + \binom{n}{3}\cos^{n-3} x \cdot i^3\sin^3 x + ... \right) \\
& = & \left(\binom{n}{0}\cos^n x - \binom{n}{2}\cos^{n-2} x \cdot \sin^2 x + ... \right)
+i\left(\binom{n}{1}\cos^{n-1} x \cdot \sin x - \binom{n}{3}\cos^{n-3} x \cdot \sin^3 x + ... \right) \\
\end{array}$
ซึ่งจากทั้งสองวิธี จะได้
$\cos nx = \binom{n}{0}\cos^n x - \binom{n}{2}\cos^{n-2} x \sin^2 x + ...$
$\sin nx = \binom{n}{1}\cos^{n-1} x \sin x - \binom{n}{3}\cos^{n-3} x \sin^3 x + ...$
หากมีข้อผิดพลาดโปรดแจ้งด้วยครับ