find all positive integer m

find all positive integer m with the property that the fourth power of the number of positive divisors of m equal m

โจทย์ต้องการให้เราหาจำนวนเต็มบวกที่ จำนวนตัวประกอบของมันยกกำลังสี่แล้วได้ตัวมันเอง

เราจะเริ่มไล่เป็นกรณีไปดังนี้

1. กรณีที่จำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบ ที่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอยู่ 1 ตัว

สมมติให้จำนวนนั้นมีตัวประกอบอยู่ทั้งหมด p ^ m ตัว (p เป็นจำนวนเฉพาะ)

ดังนั้น จำนวนนั้นคือ (p ^ m) ^ 4 = p ^ (4m) ซึ่งเราพบว่ามีจำนวนตัวประกอบอยู่ 4m + 1 ตัว

จึงได้ว่า 4m + 1 = p ^ m จะสังเกตได้ว่า 4m + 1 เป็นจำนวนคี่เสมอ ดังนั้น p >= 3 นอกจากนี้เทอมด้านซ้ายมือของสมการเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น แต่เทอมทางด้านขวามือของสมการเป็นเอ็กโปเน็นเชียล จึงมีขอบเขตบนของค่า m ที่ค่าหนึ่งที่จะทำให้สมการนี้ยังคงเป็นจริงได้ ซึ่งเมื่อหาออกมาแล้วจะได้ว่า m <= 2

เราจะทดสอบค่า m ไปทีละค่าดังนี้
m = 0 จะได้ว่า p = จำนวนเฉพาะใดๆ
m = 1 จะได้ว่า p = 5
m = 2 จะได้ว่า p = 3
จึงได้จำนวนดังกล่าวมาสามจำนวนคือ p ^ 0 = 1 , 5 ^4 = 625 และ 3 ^ 8 = 6561

2. กรณีที่จำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบ ที่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอยู่ 2 ตัว

สมมติให้จำนวนนั้นมีตัวประกอบอยู่ทั้งหมด (p ^ m)(q ^ n) ตัว (p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ)

ดังนั้น จำนวนนั้นคือ ((p ^ m)(q ^ n)) ^ 4 = (p ^ (4m))(q ^ (4n)) ซึ่งเราพบว่ามีจำนวนตัวประกอบอยู่ (4m + 1)(4n + 1) ตัว

จึงได้ว่า (4m + 1)(4n + 1) = (p ^ m)(q ^ n) และเราจะสังเกตได้ว่าผลเฉลยของสมการนี้จะได้จากการนำผลเฉลยของกรณีที่ 1 มาแทนค่าเท่านั้น(เราจะทำการจับคู่แก้สมการระหว่าง p กับ m และระหว่าง q กับ n)

จึงได้ว่าจำนวนดังกล่าวมีเพียงจำนวนเดียวคือ (5 ^ 4)(3 ^ 8) = 4100625

3. กรณีที่จำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบ ที่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอยู่มากกว่า 2 ตัว

จากเหตุผลที่ได้พิจารณาในกรณีที่ 2 จึงได้ว่าในกรณีนี้จะไม่สามารถหาจำนวนดังกล่าวได้ (เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะที่ใช้ได้เพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ 3 และ 5)

สรุปแล้วจำนวนดัวกล่าวมีทั้งหมด 4 ค่าได้แก่ 1 625 6561 และ 4100625