หนังสือ "หลักการพิสูจน์เรขาคณิต" โดยอดีตอาจารย์ รร.เตรียมอุดมศึกษา

[Switchgear]

จากโจทย์ตัวอย่างที่ 1 ถึง 16 ในความเห็น #20 นั้น เพื่อนชาว MC สรุปหลักการที่ชัดเจน
ในการแก้โจทย์แต่ละข้อได้หรือไม่ ? ว่าควรพิสูจน์ในแนวทางไหนบ้าง ?

เมื่อเข้าสู่เนื้อหาบทที่ 1 แล้ว ในหนังสือเขาจะแนะนำหลักการไว้เป็นข้อๆ ซึ่งผมกำลังเช็คดู
ว่าตัวอย่างแต่ละข้อนั้น เขาใช้หลักการข้อไหนในการแก้โจทย์ ... รออ่านกันนะครับ!

ตอนนี้มาเข้าสู่เนื้อหาเกี่ยวกับ "ข้อบกพร่องบางประการ" กันก่อน ... ต่อจากความเห็น #26

ข้อบกพร่องบางประการ

1. เมื่อเขียนรูปลงในกระดาษทดและคิดได้แล้ว ก็ควรลอกรูปลงในกระดาษคำตอบ และพิสูจน์ตามรูป
ในกระดาษคำตอบ ไม่ควรพิสูจน์ตามรูปในกระดาษทด แล้วลอกรูปลงภายหลังซึ่งอาจจะทำให้รูปกับ
เรื่องที่พิสูจน์นั้นไม่กลมกลืนกัน

2. จะใช้ผลของทฤษฎีบทไหนต้องมี เหตุ ของทฤษฎีบทนั้น อย่างสมบูรณ์ ไม่ใช่อ้างเพียงบางเหตุเท่านั้น เช่น

ก. สามเหลี่ยมมีด้านเท่ากัน 2 ด้าน มุมเท่ากัน 1 มุม จะเท่ากันสนิทไม่ได้ นอกจากมุมที่เท่ากันนั้นเป็น มุมใน
ระหว่างด้านเท่า (ท.บ.4)

ข. เส้นปิดหัวท้ายข้างเดียวกันของเส้นขนาน ย่อมขนานกัน ดังนี้ผิด นอกจากเส้นขนานนั้น ต้องเท่ากันด้วย (ท.บ.20)

ค. สี่เหลี่ยม 2 รูป ตั้งอยู่บนฐานอันเดียวกัน และอยู่ระหว่างเส้นขนานคู่เดียวกัน ย่อมมีพื้นที่เท่ากัน ดังนี้ผิด
นอกจากเป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน (ท.บ.24)

ง. มุมที่จุดศูนย์กลางย่อมเป็น 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวง ดังนี้ผิด นอกจากมุมนั้นจะต้องตั้งอยู่บน ส่วนโค้ง
อันเดียวกันด้วย (ท.บ.38)

จ. มุมเท่ากันแล้วอาร์คเท่ากัน หรืออาร์คเท่ากันแล้วมุมเท่ากัน หรือคอร์ดเท่ากันทำให้อาร์คเท่ากัน
หรืออาร์คเท่ากันทำให้คอร์ดเท่ากัน หรือมุมได้สัดส่วนกับอาร์ค เหล่านี้จะเป็นจริงได้เมื่อ วงกลมเท่ากัน
หรือ วงกลมอันเดียวกัน และมุมนั้นจะต้องเป็น มุมที่จุดศูนย์กลางหรือที่เส้นรอบวง เท่านั้น (ท.บ.42,
43, 44, 45, 69)

หมายเหตุ นี่เป็นเพียงตัวอย่างพอเป็นสังเขปเท่านั้น

3. คำว่ามุมที่เท่ากันหรือด้านที่เท่ากันนั้น ต้องเป็นด้านและมุมที่เป็น สมนัยกัน (Corresponding) หรือด้านที่เป็น
สัดส่วนกันเมื่อมุมเท่ากัน ก็ต้องเป็นด้านที่ สมนัยกัน (เช่น ท.บ.4, 7, 17, 18, 62, 63, 9)

4. อย่า สร้างเกินขอบเขต ไป เช่น
ก. โยงเส้นตรงระหว่างจุด 2 จุดให้ไปแบ่งครึ่งมุมหรือแบ่งครึ่งหรือตั้งฉากหรือขนานฯ กับเส้นตรงอื่นๆ ไม่ได้ทั้งนั้น
นอกจากจะพิสูจน์ว่าเป็นจริงตามนั้น (ดูตัวอย่างพร้อมรูปประกอบที่เป็นรูปสามเหลี่ยมตามที่แนบมา)
ข. เส้นแบ่งครึ่งมุมยอด กับเส้นที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับฐานของสามเหลี่ยม จะพบกันภายในสามเหลี่ยมไม่ได้
นอกจากสามเหลี่ยมนั้น จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

5. ตัวอักษรที่คล้ายๆ กันหรือเครื่องหมายหรือตัวเลขที่คล้ายกับตัวอักษร ไม่ควรนำมาใช้ด้วยกัน (ถ้าไม่จำเป็น)
เพราะจะทำให้เกิดหลงผิด เช่น ตัว E กับตัว F, ตัว O กับตัว Q กับตัว D กับเลข 0, ตัว X ตัวเครื่องหมายคูณ (x) ฯ

6. จะใช้บทสร้างใดต้องเขียนรูปให้เหมือนบทสร้างนั้น ทีมักจะผิดพลาดบ่อยๆ ก็คือ บทสร้าง 24 คือ การสร้างเซกเมนต์
ให้มุมในเซกเมนต์เท่ากันมุมที่กำหนดให้ ซึ่งมุมมักจะไม่ เท่ากัน หรือ สร้างเสร็จแล้ว ไม่มีเส้นสัมผัส หรือการแบ่งเส้นตรง
อย่างภายนอกออกเป็นอัตราส่วนที่กำหนดให้ (ตาม บทสร้างที่ 37) (ดูตัวอย่างพร้อมรูปประกอบที่เป็นการแบ่ง
อัตราส่วนภายนอกตามรูปที่แนบมา)

7. สามเหลี่ยมที่เท่ากันสนิท อาจจะอ้างพื้นที่เท่ากัน, ด้านเท่ากัน, มุมเท่ากัน และเป็น Similar (คล้าย) กันได้
แต่สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันจะอ้างด้านหรือมุมเท่ากันไม่ได้ หรือสามเหลี่ยมที่เป็น Similar กันจะอ้าง ด้านเท่ากัน
หรือพื้นที่เท่ากันไม่ได้ อ้างได้แต่เพียงว่า มุมเท่ากัน และด้านได้สัดส่วนกัน เท่านั้น

8. จำเรื่องของตัวบทไม่ได้ (ไม่จำเป็นต้องจำว่าบทที่เท่าไร แต่ต้องจำเรื่องราวของบทนั้นๆ ได้) เช่นถามว่า
แบบฝึกหัดข้อนี้มีเรื่องราวใกล้เคียงกับตัวบทใดบ้าง มักจะได้รับคำตอบว่า "ไม่ทราบ" ดังนั้นเมื่อเรียนบทไหนควรจำไว้
ด้วยว่า เมื่อมีเหตุเช่นนั้นจะเกิดผลอย่างไร หรือมีผลอย่างนั้น จะต้องมีเหตุอย่างไร

9. ระวังเรื่องข้อยกเว้นของบางบท เช่น เราสามารถสร้างวงกลมให้ผ่านได้เพียง 3 จุด แต่ถ้ามี 4 จุด และเมื่อโยงเส้นตรง
ระหว่าง 4 จุด เกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมซึ่งมีมุมตรงข้ามรวมกันเท่ากับ 2 มุมฉากขึ้น ในกรณีเช่นนี้วงกลมจะต้องผ่านจุดทั้ง 4
จะผ่านเพียง 3 จุดไม่ได้ หรือเราสามารถสร้างวงกลมให้สัมผัสด้านของสี่เหลี่ยมได้เพียง 3 ด้าน แต่ถ้าผลบวกของ
ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมนั้นเท่ากันแล้ว วงกลมต้องสัมผัสด้านที่ 4 ด้วย จะสัมผัสเพียง 3 ด้านไม่ได้

-------------------------------

โปรดติดตามเนื้อหาตอนต่อไปเกี่ยวกับ "สิ่งที่ใช้อ้าง" ครับ! (ใกล้เข้าสู่การแก้โจทย์บทที่ 1 แล้ว)
.

[Switchgear]

ยังไม่ค่อยมีคนลองโพสต์แก้โจทย์ตัวอย่างทั้ง 16 ข้อเลย!

ขอไปพักผ่อนก่อน ... แล้วดึกๆ จะโพสต์เนื้อหา "สิ่งที่ใช้อ้าง" ให้ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ตัวอย่างที่ 1 วงกลม 2 วงตัดกันที่ P, Q มีเส้นสัมผัส 2 เส้น มาสัมผัสวงกลมทั้ง 2 ที่ P และไปพบกับเส้นรอบวงของ
วงกลมทั้ง 2 ที่ M, N ลาก MN ตัดเส้นรอบวงของวงกลมทั้ง 2 ที่จุด X, Y จงพิสูจน์ว่า PX = PY

ผมลองทำดูข้อแรกให้ก่อน คนโพสต์จะได้มีกำลังใจ สำหรับผมแล้วผมชอบดูชอบอ่าน มากกว่าชอบตอบ ถ้าจะตอบคงจะเป็นแบบไม่ค่อยมีสาระ จะถนัดมากกว่าครับ
ผมขออธิบายด้วยรูปก็แล้วกัน น่าจะเข้าใจได้ไม่ยาก

[nut123]

เป็นหนังสือเก่าที่ดีมากๆเล่มหนึ่งครับ
อยากได้จังครับ

[Switchgear]

... ต่อจากความเห็น #31

สิ่งที่ใช้อ้าง

วิชาเรขาคณิตนี้ นักเรียนมักจะใช้สายตามาช่วยเหลือในการพิสูจน์มากเกินไป ควรใช้แต่พอเป็นสังเขปว่า
รูปไหน ด้านไหน มุมไหน ควรจะเท่ากัน เส้นไหนควรจะตั้งฉากแบ่งครึ่งหรือขนานกัน หรือรูปไหนควรจะ
เป็น Similar กันฯ ต่อไปเราก็ต้องหา เหตุผลมาพิสูจน์ให้เห็นจริง ว่าสิ่งนั้นๆ เป็นจริงตามที่เราใช้สายตา
เช่นเราเห็นคนมีขาเพียงข้างเดียวเท่านั้น ยังไม่เป็นการเพียงพอ เราต้องสืบหาเหตุผลมาชี้แจงด้วยว่า
ทำไมคนๆ นั้นจึงมีขาเพียงข้างเดียว ดังนั้นเมื่อเราเขียนสิ่งใดลงไป เราต้องมีหลักฐานมาอ้างอิงเสมอ
ว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น สิ่งที่จะใช้อ้างได้ในวิชาเรขาคณิตก็มีอยู่ ดังที่จะกล่าวไว้เป็นตัวอย่างต่อไปนี้

ก. ตามโจทย์ หรือตามสิ่งที่กำหนดให้ (Given) แต่ต้องมีในโจทย์ข้อนั้นจริงๆ ไม่ใช่ตามโจทย์ข้ออื่น

ข. ความจริง ที่ไม่ต้องพิสูจน์ (Axiom)

ค. สัจพจน์ (Postulate)

ง. คำนิยาม (Definition)

จ. สร้าง (Construction) เราสร้างเพื่อมาช่วยในการพิสูจน์ของเรา เช่น ลากเส้นนั้นให้ไปทำอะไรกับใคร
หรือสร้างมุมนั้นให้เท่ากับมุมไหน หรือโตเท่าไร หรือแบ่งเส้นนั้นหรือรูปนั้นให้เป็นอย่างนั้นอย่างนี้ ฯลฯ
แต่อย่าลืมว่า ต้องสร้างไม่เกินขอบเขต เราสร้างไว้อย่างไรก็นำมาอ้างได้

ฉ. พิสูจน์มาแล้ว (Proved) เช่นเราพิสูจน์มาแล้วว่า มุมA = มุมB เราต้องนำไปใช้ในตอนหลังของข้อนี้
เราก็นำมาอ้างได้แต่ต้องเป็นในข้อนั้นๆ จริง ไม่ใช่อ้างว่าตามที่เคยพิสูจน์มาแล้ว แต่เป็นในข้ออื่นๆ

ช. ทฤษฎีบท (Theorem) หรือ บทสร้าง (Problem)

----------------------

โปรดติดตามหัวข้อสุดท้ายของบทนำ "หลักการคิด" ในคราวหน้าครับ

[ความฝัน]

ขอบคุณมากครับ ที่นำสิ่งดีๆมาแบ่งปันกัน ผมขอเก็บกระทู้นี้ไว้นะครับ
หลังจากอ่านแล้ว จริงๆ ผมเคยเข้าไปอ่านกระทู้ของพี่ในวิชาการ.คอม
และก็ตามอ่านกระทู้อื่นๆโดยเฉพาะที่เกี่ยวกับ เรขาคณิต มานานแล้วแหละครับ
ตอนผมสมัครเขาmathcenterใหม่ๆ บอร์ดเรขาคณิตจะค่อนข้างเงียบ ในความคิดผม
ครั้นผมจะตั้งกระทู้เองก็ไม่รู้จะตั้งอะไร แต่พอพี่นำเนื้อหาดีๆมานำเสนอ ทำให้บอร์ดแลครึกครื้นดีครับ

[Switchgear]

ขอบคุณทุกคนที่ติดตามอ่าน และร่วมให้กำลังใจครับ ... ผมอยากให้เรามีกระทู้เยอะๆ ที่อ่านแล้วได้ความรู้เพิ่ม

มาต่อหัวข้อสุดท้ายของบทนำกันดีกว่า ... ต่อจากความเห็น #35

หลักการคิด

ความจริงวิชาเรขาคณิตเป็นวิชาที่คิดยาก และนักเรียนมักจะไม่ยอมคิดกัน เมื่อนักเรียนไม่ค่อยได้คิดก็ย่อมทำให้
คิดไม่ได้เป็นธรรมดา หนังสือคู่มือเล่มนี้พยายามแนะแนวทางที่คิดให้และเป็นเพียงวิธีใดวิธีหนึ่งเท่านั้น ความจริง
ยังมีอีกหลายวิธี หากนักเรียนจำแนวทางที่คิดไว้มากๆ ก็พอที่จะเป็นลู่ทางช่วยให้คิดเรขาคณิตได้บ้าง หลักการคิด
ที่ชอบใช้ก็คือ แยกโจทย์ออกว่าอะไรเป็นเหตุอะไรเป็นผล แล้วพยายามคิดย้อนจากผลว่า ก่อนที่จะมีผลนั้นๆ
ควรมีเหตุอันใดบ้าง และเหตุเหล่านั้น ตรงกับเหตุที่โจทย์ให้แล้วหรือยัง ถ้ายังก็ต้องคิดย้อนขึ้นไปอีกจนกระทั่ง
ได้เหตุตรงกับที่โจทย์ให้ได้ แต่ถ้าย้อนขึ้นไปไม่ได้ ก็ต้องหวนไปคิดถึงเหตุที่โจทย์ให้ว่าก่อให้เกิดผลอันใดขึ้นบ้าง
จะนำไปช่วยเหลือผลที่ย้อนขึ้นมาได้อย่างไรบ้าง ขอสรุปสั้นๆ ว่า ผล ที่โจทย์ให้ สืบมาจากเหตุอันใด และ เหตุ
ที่โจทย์ให้ ก่อให้เกิดผลอย่างไร ขั้นสุดท้ายก็คิดว่าทำอย่างไร จึงจะทำให้ผลที่ย้อนขึ้นไป กับเหตุที่ย้อนลงมา
ให้กลมกลืนกัน นี่แหละเป็นจุดสำคัญของการคิดเรขาคณิต และถ้าย้อนมาถึงว่าทำอย่างไร มุมจึงจะเท่ากัน
นี่เป็นหนทางที่ดี เพราะเรามีทฤษฎีบทซึ่งเกี่ยวกับเรื่องมุมเท่ากันไว้ช่วยเหลือมากมายหลายบท เช่นในรูป

กำหนดให้ AB = AC และ XY // BC จะต้องพิสูจน์ว่า X, Y, C, B เป็น Concyclic
วิธีคิด X, Y, C, B จะเป็น Concyclic ได้เมื่อ มุม 1 + มุม 3 = 2 มุมฉาก
แต่ มุม 2 + มุม 3 = 2 มุมฉาก (ท.บ.14)
ดังนั้นต้องพยายามพิสูจน์ให้ มุม 1 = มุม 2 ซึ่งจะคิดได้อย่างง่ายดาย เพราะว่า AB = AC

? คือจุดสำคัญ

อย่าลืม! ถ้าโจทย์ใกล้เคียงทฤษฎีบทหรือบทสร้างไหน ก็ควรพยายามใช้ทฤษฎีบทหรือบทสร้างนั้นๆ

--------------------------------

เมื่อเฉลยตัวอย่างโจทย์แต่ละข้อแล้ว ผู้อ่านควรจะลองกลับมาทบทวนหัวข้อต่างๆ ในบทนำอีกครั้ง จะเห็นว่าเป็นคำแนะนำ
ที่มีประโยชน์ในการกำหนดแนวทางพิสูจน์เรขาคณิตอย่างมาก ... ยิ่งทบทวนหลายครั้ง ก็จะยิ่งรู้สึกว่าเป็นเคล็ดลับที่ดีขึ้น!

ต่อไปโปรดติดตาม คำแนะนำในการแก้โจทย์ของบทที่ 1 เกี่ยวกับด้านเท่ากัน 2 ด้าน ....
.

[Switchgear]

... ต่อจากความเห็นที่แล้ว

บทที่ 1 หลักการคิดด้าน 2 ด้านเท่ากัน

1. ถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน ก็พยายามคิดให้มุมตรงข้ามกับด้านนั้นเท่ากันก่อน (ท.บ.6)

2. ถ้าเป็นด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม ก็พยายามพิสูจน์ให้เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ท.บ.21)

3. ถ้าเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม 2 รูป ก็พยายามพิสูจน์ให้สามเหลี่ยมทั้งสองนั้นเท่ากันสนิท (ท.บ.4,
$\quad$ 7, 17, 18) แบบนี้นิยมที่สุด

4. ถ้าเป็นคอร์ดของวงกลม ก็พยายามพิสูจน์ให้ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน (ท.บ.34) หรือพิสูจน์
$\quad$ ให้มุมเท่ากันก่อน แล้วอ้างอาร์คเท่ากัน ต่อไปก็อ้างคอร์ดเท่ากัน (ท.บ. 42, 45)

5. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นสัมผัส (แทรก ท.บ. 47)

หมายเหตุ

ก. หลักเหล่านี้บางข้อ เช่น ข้อ 2, 3 อาจนำไปใช้พิสูจน์เกี่ยวกับเรื่อง มุมเท่ากัน ได้ด้วย

ข. บางครั้งพิสูจน์ให้เท่ากันดยตรงไม่ได้ ก็ต้องพยายามพิสูจน์ให้ต่างก็ไปเท่ากับหรือเป็นเศษส่วนเท่ากัน
$\quad$ ของเส้นตรงเส้นเดียวกันก็ได้ เช่น โจทย์ให้พิสูจน์ด้าน x = y เราอาจพิสูจน์ให้ x และ y
$\quad$ ต่างก็เท่ากับ z หรือเป็น 2 เท่า หรือเป็น 1/2 ของ z ก็ได้

ค. ถ้าเป็นด้านหนึ่งเท่ากับ 2 ด้านรวมกัน สมมติว่าโจทย์ให้พิสูจน์ x = y + z เราอาจจะพิสูจน์ให้ส่วนหนึ่ง
$\quad$ ของ x = y แล้วส่วนที่เหลือของ x = z ก็ได้ แต่ถ้าด้านเหล่านั้นเป็นเส้นตั้งฉาก สู้วิธีพยายาม
$\quad$ พิสูจน์ให้พื้นที่ของทั้งสองข้างเท่ากัน แล้วฐานเท่ากันจะดีกว่า และวิธีนี้อาจนำไปใช้กับหลายด้าน
$\quad$ เท่ากันได้ด้วย
$\quad$ ถ้าด้านเป็นเส้นทแยงมุม ไปเท่ากับผลบวกของด้านของเส้นทแยงมุม ควรพยายามใช้ผลบวกของ
$\quad$ สี่เหลี่ยม ซึ่งประกอบด้วยด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อยู่ในวงกลม ย่อมเท่ากับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
$\quad$ ซึ่งประกอบด้วยเส้นทแยงมุม

------------------------------------

เพื่อนๆ ลองอาศัยหลักการเหล่านี้ ประกอบกับเนื้อหาในบทนำ เพื่อวิเคราะห์ตัวอย่างที่ 1 ถึง 16 ดูซิครับว่า
ความรู้ที่ได้จากหนังสือเล่มนี้ ทำให้ตัวเราเองแก้โจทย์อย่างมีหลักการคิดที่ดีขึ้นบ้างหรือไม่ ???
.

[Switchgear]

แวะเข้ามาเฉลยตัวอย่างที่ 1 ... ผมคงโพสต์เฉลยแค่ตัวอย่างที่ 1 นี้ กับตัวอย่างที่ 12 ที่โพสต์ไปแล้ว
เพื่อเป็นแนวทาง ส่วนตัวอย่างที่เหลือเก็บไว้ให้ลองคิดกันเองครับ!

จากเฉลยตัวอย่างที่ 1 ที่แนบมา จะพบว่าโจทย์ถามด้าน 2 ด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน จึง
ตรงกับหลักข้อ 1. ตามคำแนะนำของบทที่ 1 นั่นคือ พยายามคิดให้มุมตรงข้ามกับด้านเท่ากัน
ในข้อนี้หมายถึง "มุม x = มุม y" คือ เป้าหมายของการพิสูจน์ ซึ่งถ้าทำได้ก็ปิดเกม!

ต่อไปก็ต้องอาศัย "หลักการคิด" ตามหัวข้อสุดท้ายในบทนำ นั่นคือ คิดย้อนจากผลที่ต้องการ ดูว่า
เกิดจากเหตุอะไร ซึ่งเราจะพบว่า มุม x เป็นมุมภายนอกของสามเหลี่ยมที่เกิดจาก "มุม 2 + มุม 3"
ทำนองเดียวกัน มุม y ก็เกิดจาก "มุม 1 + มุม 4" ซึ่งตรงกับ จุดสำคัญ ในเฉลยแบบย่อนั่นเอง

จากนั้นเมื่อย้อนกลับไปทบทวนหัวข้อ "การเตรียมทฤษฎีบทเพื่อสะดวกแก่การใช้" ในบทนำ พบว่า
ข้อย่อย ข. มีผลมุมเท่ากันของ "ข้อ 2. ยึดผลเป็นหลัก" ประเด็น VI (ท.บ.49) นำมาแก้ปัญหาได้
ทำให้พิสูจน์ "มุม 2 = มุม 1" และ "มุม 4 = มุม 3" ซึ่งเป็นจุดสำคัญได้สำเร็จ และเดินต่อจนจบได้

นอกจากนี้ผู้อ่าน ควรใช้ตัวอย่างที่ 1 ในการทบทวนทุกหัวข้อในบทนำอีกครั้ง จะพบว่าคำแนะนำต่างๆ
ที่กล่าวไปทั้งหมด แฝงอยู่ในตัวอย่างนี้อย่างสมบูรณ์ ยิ่งย้อนกลับไปทบทวนเราก็จะยิ่งเข้าใจมากขึ้น
และควรจะลองศึกษาตัวอย่างที่ 12 ที่เคยโพสต์ไปแล้ว ตามแนวทางที่ผมลองนำเสนอด้วย

ตัวอย่างที่เหลือผมคงไม่เฉลยแล้ว จะข้ามไปขึ้นบทที่ 2 ต่อในคราวหน้าครับ

.

[Switchgear]

หากผู้อ่านสังเกตและศึกษาตัวอย่างที่ 1 และ 12 ให้ละเอียด รวมทั้งทบทวนเนื้อหาก่อนหน้านั้นทั้งหมด
จะพบว่า หนังสือเล่มนี้อธิบายใจความสำคัญอย่างครบถ้วน และนำสิ่งที่อธิบายไปใช้แก้โจทย์ที่ตามมา
นี่คือ หนังสือที่เขียนโดยฝีมือชั้นครูจริงๆ ... ไม่ใช่นักลอกเลียนแบบหรือนักหยิบฉวยมายำใหม่

ต่างจากหนังสือปัจจุบันส่วนใหญ่ ที่ลอกคำอธิบายจากหนังสือเล่มหนึ่ง แล้วยกตัวอย่างยากๆ ที่ลอกจาก
หนังสือเล่มอื่นมาต่อท้าย โดยไม่ได้สัมพันธ์กันเลย ทำให้ผู้อ่านรู้สึกว่า 'อ่านเนื้อหาแล้วไม่ได้อะไรขึ้นมา'
และไม่มีแนวทางที่ชัดเจนในการแก้โจทย์แต่ละข้อที่ตามมา หรือบางทีโจทย์ก็ไม่เกี่ยวกับเนื้อหาบทนั้นด้วยซ้ำ

ผมอยากให้เยาวชนไทย ได้อ่านหนังสือชั้นครูกันมากๆ หนังสือที่สอนและใช้สิ่งที่สอนอย่างเป็นลำดับ!
น่าเสียดายที่แผงหนังสือทุกวันนี้ หาหนังสือระดับนี้ได้ยากเหลือเกิน :-(

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

เห็นด้วยอย่างยิ่งกับคุณswitchgear(พี่เล็ก)นะครับ
แต่ว่า หนังสือสมัยนี้เขาเน้นการตลาดมากไปน่ะครับ

[Switchgear]

ในส่วนของ เรขาคณิต ผมคิดว่าหนังสือ โลกเรขาคณิต ของ อ.ดำรงค์ มีเนื้อหาที่ดีมากดีเดียว
แม้ว่าจะอัดแน่นจนไม่เหมาะสำหรับเป็นหนังสือเล่มแรกในวิชานี้ก็ตาม แต่คนที่พอมีพื้นฐาน
ระดับกลางๆ แล้ว ขอแนะนำให้ฝืนใจอ่าน โลกเรขาคณิต ทีละนิดทีละหน่อย แล้วจะได้
ความรู้มากมายหากทนอ่านจนจบได้

ในหนังสือดังกล่าวมีบทพิสูจน์ทฤษฎีต่างๆ อย่างครบถ้วน พร้อมทั้งโจทย์ยากมากมาย สมควร
หาซื้อไว้ศึกษาอ้างอิงอย่างยิ่งครับ! (แต่ขอเตือนว่าอย่าใช้เริ่มต้นเรียนเรขาคณิต ไม่งั้นท้อ!)

ส่วนเล่มอื่นในท้องตลาดผมยังนึกไม่ออก ... อาจมีอีก แต่ผมอ่านมาน้อยเกินไป :-)

ไหนๆ ก็ชื่นชม โลกเรขาคณิต ของ อ.ดำรงค์ แล้ว ขอแนะนำหนังสือเล่มล่าสุดของอาจารย์
คือ "รวมข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ IMO 1959-1982" ซึ่ง
พิมพ์ครั้งที่ 1 มกราคม 2553 ไม่รู้ว่าแฟนประจำของอาจารย์ได้หาซื้อมาอ่านกันหรือยัง ?
(ผมเองซื้อมาลูบๆ คลำๆ เป็นเจ้าของ 1 เล่มแล้ว เมื่อสองสัปดาห์ที่ผ่านมา)

ส่วน IMO ปีที่เหลือนั้น อาจารย์เขียนไว้ในคำนำว่าจะเป็นเล่มต่อไปครับ!

[Switchgear]

เอาโจทย์ตัวอย่างใน บทที่ 2 หลักการพิสูจน์มุมเป็นมุมฉาก หรือเส้นตรงตั้งฉากกัน มาแปะไว้ก่อน
มีอยู่ 14 ข้อ เผื่อว่าใครจะลองเอาไปคิดเล่นๆ แล้วผมค่อยมาแปะหลักการคิดให้อีกที

----------------------------

ตัวอย่างที่ 17 ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในวงกลม ถ้าต่อด้าน AD, BC ไปพบกันที่จุด P
และต่อด้าน AB, DC พบกันที่จุด Q จงพิสูจน์ว่าเส้นแบ่งครึ่งมุม APB กับเส้นแบ่งครึ่งมุม AQD
จะตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 18 วงกลม 2 วงสัมผัสกันอย่างภายนอกที่ C มี AB เป็นเส้นสัมผัสวงร่วม สัมผัสวงกลม
ทั้ง 2 ที่ A, B จงพิสูจน์ว่า ACB เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 19 เส้นสัมผัส 2 เส้นขนานกัน มีเส้นสัมผัสวงเส้นที่ 3 ไปตัดเส้นสัมผัสวง 2 เส้นนั้น
จงพิสูจน์ว่าส่วนที่ถูกตัดโดยเส้นสัมผัสวงทั้ง 2 กางมุมที่จุดศูนย์กลางได้มุมเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 20 PQRM เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส N เป็นจุดๆ หนึ่งบน PQ และ S เป็นจุดๆ หนึ่งบน QR
ทำให้ MN = PS จงพิสูจน์ว่า MN และ PS ตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 21 PQRM เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน QSNR และ RMDC เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูป
สร้างบนด้าน QR, RM จงพิสูจน์ว่า PR ต่อออกไปตั้งฉากกับ CN

ตัวอย่างที่ 22 ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม ABC เป็นมุมฉาก ABDN, BCPQ เป็น
สี่เหลี่ยมจัตุรัสสร้างบนด้าน AB, BC ถ้าต่อ PQ, ND ไปพบกันที่ M แล้ว จงพิสูจน์ว่า
MB ที่ต่อออกไปจะตั้งฉากกับ AC

ตัวอย่างที่ 23 PQ เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของครึ่งวงกลม AP, BQ เป็นคอร์ด 2 คอร์ด ตัดกัน
ที่จุด M ถ้าต่อ PB, QA ไปพบกันที่ R จงพิสูจน์ว่า RM ที่ต่อออกไปจะตั้งฉากกับ PQ

ตัวอย่างที่ 24 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุอยู่ภายในวงกลม ลาก BM ตั้งฉาก AC
ต่อ BM ไปพบเส้นรอบวงที่ N ให้ O เป็นจุดบน MB ซึ่งทำให้ OM = MN
จงพิสูจน์ว่า CO ต่อออกไปตั้งฉากกับ AB

ตัวอย่างที่ 25 จงพิสูจน์ว่า เส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังมุมยอดของรูปสามเหลี่ยม
ที่บรรจุในวงกลมนั้น ย่อมตัดด้านของสามเหลี่ยมพีแดล (Pedal triangle) เป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 26 AB เป็นเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม ซึ่ง M เป็นจุดศูนย์กลาง AP, BQ เป็น
คอร์ด 2 คอร์ดตัดกันที่จุด R ถ้า N เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งล้อม PQR จงพิสูจน์ว่า
MQ ตั้งฉากกับ NQ

ตัวอย่างที่ 27 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมอยู่ในวงกลม O เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บนเส้นรอบวง
ลาก OM, ON ตั้งฉาก AB, BC ที่ M, N โยง MN ตัด AC ที่ R จงพิสูจน์ว่า
OR ตั้งฉาก AC


ตัวอย่างที่ 28 ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบรรจุในวงกลม P เป็นจุดๆ หนึ่งอยู่บน
เส้นรอบวง ถ้าลาก PX, PY ตั้งฉาก AB, BC ที่ X, Y แล้วต่อ XY ไปพบ BC
ที่ Z จงพิสูจน์ว่า PZ ตั้งฉาก BC

ตัวอย่างที่ 29 สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีวงกลมบรรจุอยู่ภายใน และมีวงกลมล้อมรอบ
จงพิสูจน์ว่า เส้นที่โยงระหว่างจุดสัมผัสที่อยู่ตรงกันข้าม ตัดกันเป็นมุมฉาก

ตัวอย่างที่ 30 ในรูป (ก) AB, CD ต่างตั้งฉาก AC ถ้า AX = 12k, XC = 5 m,
CD = 12 m และ BX = 13k จงพิสูจน์ว่า BXD เป็นมุมฉาก

[Switchgear]

มาแล้วครับ คำแนะนำเกี่ยวกับหลักการคิดบทที่ 2
หวังว่าคงเป็นประโยชน์ต่อคนที่อยากลองคิดโจทย์ตัวอย่างที่โพสต์ไว้ก่อนนี้

-----------------------------------------

บทที่ 2 หลักการพิสูจน์มุมเป็นมุมฉาก หรือเส้นตรงตั้งฉากกัน

1. พยายามพิสูจน์ให้มุมประชิดเท่ากัน หรือเป็น 1/2 ของมุมประชิดรวมกัน (ท.บ.1)

2. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นที่สั้นที่สุด (ท.บ.12)

3. โยงให้เป็นรูปสามเหลี่ยม แล้วพยายามพิสูจน์ให้ผลบวกของสองมุม = 1 มุมฉาก
$\quad$ หรือ = มุมที่ 3 เช่นในรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้าพิสูจน์ได้ว่า A + C = 1 มุมฉาก
$\quad$ หรือ A + C = B จะอ้างได้ว่า B เป็นมุมฉาก (ท.บ.16)

4. เมื่อมีเส้นขนานกับเส้นขวาง พยายามพิสูจน์ให้มุมภายในข้างเดียวกันเท่ากัน (ท.บ.14)

5. พยายามพิสูจน์ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมนั้น = ผลบวกของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
$\quad$ บนด้านประกอบมุม (ท.บ.30)

6. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลม มาแบ่งครึ่งคอร์ด (ท.บ.31)

7. เมื่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมบรรจุในวงกลม พยายามพิสูจน์ให้มุมตรงข้ามเท่ากัน (ท.บ.40)

8. พยายามพิสูจน์ให้เป็นมุมในครึ่งวงกลม (ท.บ.41)

9. พยายามพิสูจน์ให้เป็นเส้นสัมผัสวงกับรัศมี (ท.บ.46)

10. ถ้าในรูปมีมุมที่เป็นมุมฉากอยู่แล้ว ก็พยายามพิสูจน์ให้เท่ากับมุมที่เป็นมุมฉากนั้น
$\quad\;\;$ และใช้หลักเกณฑ์เหมือนกับพิสูจน์มุมเท่ากัน ด้านเท่ากัน ดังในบทที่ 1 มาช่วย
$\quad\;\;$ เรื่องมุมเท่ากันนี้ควรคิดถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้มาประกอบด้วย คือ
$\quad\;\;$ ก. มุมในเซกเมนต์ของวงกลมเดียวกันย่อมเท่ากัน (ท.บ.39)
$\quad\;\;$ ข. มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน (ท.บ.16)
$\quad\;\;$ ค. มุมแย้งเท่ากัน และมุมภายนอก = มุมภายในข้างเดียวกัน (ท.บ.14)
$\quad\;\;$ ง. มุมเกิดจากคอร์ดกับเส้นสัมผัส เท่ากับมุมในเซกเมนต์ตรงข้าม (ท.บ.49)

[Switchgear]

แวะเข้ามาโพสต์เฉลยตัวอย่างที่ 17 เพื่อให้เห็นแนวทางแก้โจทย์บทที่ 2 ... ตัวอย่างอื่นทิ้งไว้ให้คิดเล่นครับ!
แนวทางในการศึกษาเฉลยด้วยตัวเอง ก็เหมือนกับที่ผมเคยแนะนำในบทที่ 1 คือให้ทบทวนบทนำแต่ละหัวข้อ
พร้อมกับคำแนะนำในแต่ละบทไปพร้อมๆ กัน

โปรดติดตามคำแนะนำในการแก้โจทย์บทที่ 3 ต่อไป ...
.