Mathlink Contest ครั้งที่ 5 รอบที่ 1 ข้อ 1

[gools]

หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ
\(x^3-y^3=2005(x^2-y^2)\)

[M@gpie]

อืมมม ยากจังเลยคับ ผมคิดออกกรณีง่ายๆ เองง่ะ มันต้องมี Solution ชุดอื่นแหงๆ
\[ x^3 -y^3 = 2005 (x^2-y^2) \]
แยกตัวประกอบจะได้ \[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=2005(x+y)(x-y) \]
ย้ายข้างไปรวมกันแล้วดึงตัวร่วม จะได้ \[ (x-y)(x^2+xy+y^2-2005(x+y))=0 \]
จึงได้กรณีหนึ่งคือ \( x=y \) ทุก \( (x,y) \in I^{+} \)

[Alberta]

ได้
case1 x=y=จำนวนเต็มบวก ครับ
case2 x=0,2005 เมื่อ y = 0
case3 y=0,2005 เมื่อ x = 0
จึงได้ว่า (x,y) = (จำนวนเต็มบวก,จำนวนเต็มบวก) (0,0) (0,2005) (2005,0)
ครบรึปล่าวครับ

[gools]

0ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกครับ
แต่คุณ alberta ทำยังไงแสดงให้ดูหน่อยสิครับ

[Alberta]

อ๋อ(เฮ้อ ถ้าไปสอบก็เจ๋งแหงเเก๋...T_T)
ลืมครับ
แสดงว่าก็น่าจะมีกรณีเดียวนั่นแหละครับ
คือ x=y=จำนวนเต็มบวก
เดี๋ยวแสดงวิธีของผมครับ
เอ แต่ผมไม่รู้วิธีที่จะเขียน x กำลังสองนิครับ(เขียนเป็นแต่แบบเนี๊ย x^2)

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:

เอ แต่ผมไม่รู้วิธีที่จะเขียน x กำลังสองนิครับ(เขียนเป็นแต่แบบเนี๊ย x^2)

ลองหัดใช้ในห้องบนสุดได้ครับ.
กำลังสองก็เขียนแบบนั้นล่ะ เพียงแต่ใส่ Tag เปิดกับ Tag ปิด คร่อมลงไปเท่านั้น (กรณีใช้ Latex)

[gon]

วิธีคิดของผมเถื่อนมากครับ. ลองดูนะว่ายอมรับได้หรือเปล่า

นอกเหนือไปจาก x = y แล้ว เราจะแสดงว่าไม่มี x, y ใดอีกที่สอดคล้องสมการดังกล่าว ดังนี้
จาก \( x^2 + xy + y^2 = A \Rightarrow (x+y)^2 - xy = 2005(x+y)\)
สมมติให้ \( x + y = A \Rightarrow A^2 - xy = 2005A \Rightarrow (2A - 2005)^2 = 2005^2 + 4xy\)

\(\because \quad 2005 = (401)(5) = (2005)(1) \Rightarrow 2005^2 + (\frac{401^2-1^2}{2})^2 = (\frac{401^2+1^2}{2})^2 ,\, 2005^2 + (\frac{2005^2 - 1^2}{2})^2 = (\frac{2005^2 + 1^2}{2})^2\)

\(\therefore \quad 2005^2 + 80388^2 = 80413^2, \, 2005^2 + 2010012^2 = 2010013^2 \)

\(\iff \quad 4xy = 80388, 2A - 2005 = 80413 \,or\,4xy = 2010012 , 2A - 2005 = 2010013 \)

\(\iff \quad xy = 20097, A = x + y = 41209 \,or\, xy = 502503, A = x + y = 1006009 \)

\(\therefore \quad x, y \, จะเป็นรากของสมการ\, z^2 - 41209z + 20097 = 0 \, or, z^2 - 502503z + 1006009 = 0 \)

ซึ่งเมื่อแก้สมการจะพบว่า ไม่ทำให้ z เป็นจำนวนเต็มบวก จึงมีเพียง x = y เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

[Alberta]

โทษทีนะครับที่ลงช้าไปหน่อยพอดีลืมและผสมกับความขี้เกียจ(เหอะๆ)
จาก x^3 - y^3 = 2005(x^2 - y^2)
แยกตัวประกอบจะได้
(x-y)(x^2+xy+y^2-2005(x+y)) = 0
เราจะได้ x=y
หรือ x^2+xy+y^2-2005(x+y) = 0
(x+y)^2 - xy - 2005(x+y) = 0
(x+y)(x+y-2005) = xy
โดยที่ x+y เป็นจำนวนเต็ม x+y-2005 เป็นจำนวนเต็ม x เป็นจำนวนเต็ม y เป็นจำนวนเต็ม
เราจะได้ว่า
x+y = x เมื่อ x+y-2005 = y หรือ
x+y = y เมื่อ x+y-2005 =x
แก้สมการจะได้ (x,y) = (0,2005) (2005,0)
แต่ x y เป็นจำนวนบวกจะได้2กรณีข้างตนตัดทิ้งที่เหลือก็จะได้ว่า x = y =จำนวนบวก

[nooonuii]

ผมว่าข้อสรุปของน้อง Alberta ยังไม่ถูกต้องซะทีเดียวนะครับ เพราะ xy อาจจะแยกตัวประกอบได้อีกมากมาย

[gon]

รู้สึกว่าที่ผมคิดไปก็ยังบกพร่องอยู่นะ เพราะมี \(5^2 + 24 = 7^2 \, \) เป็นต้น
เว้นเสียแต่สรุปได้ว่า 4xy ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ คิดว่ายังไงกันบ้างครับ.

[warut]

ผมเห็นด้วยกับความเห็นสุดท้ายของคุณ gon ครับ

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ
\(x^3-y^3=2005(x^2-y^2)\)

วิธีของผมครับ เห็นได้ชัดว่าคำตอบคือ \((x,y)=(n,n)\) ทุกจำนวนเต็มบวก \(n\)

เนื่องจาก \(x^2+xy+y^2-2005x-2005y=3(2x+y-2005)^2+(3y^2-2005)^2-(4010)^2=0\)
ดังนั้น
\[3(2x+y-2005)^2+(3y-2005)^2=4010^2\]
ให้ \(2x+y-2005=a\) และ \(3y-2005=b\) เราจะได้สมการใหม่ว่า
\[3a^2+b^2=4010^2\qquad (1)\]
จะได้ว่า \(3a^2+b^2\equiv0(\bmod5)\) แต่ \(3a^2\equiv0,\pm 3(\bmod5)\) และ \(b^2\equiv0,\pm 1(\bmod5)\)

จะได้ว่า \(5|a\) และ \(5|b\)

และ \(3a^2+b^2\equiv0(\bmod401)\) ให้ \(401 \!\!\!\not| a\) โดย Fermat's Little Theorem จะได้ว่า \(a^{400}\equiv1(\bmod401)\) และ
\((3a^2)^{200}\equiv1(\bmod401)\) ดังนั้น \(3^{200}\equiv1(\bmod401)\) แต่ถ้าลองใช้พลังไล่ดูจะพบว่า \(3^{200}\equiv -1(\bmod401)\) ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้นได้ว่า \(401|a\) และเราจะได้อีกว่า \(401|b\)

ดังนั้น \(2005|a\) และ \(2005|b\)

ให้ \(a=2005p\) และ \(b=2005q\) แทนลงใน (1) จะได้ว่า
\[2005^2(3p^2+q^2)=4010^2\]
ดังนั้น \(3p^2+q^2=4\) จะได้ว่า \((p,q)=(1,1),(0,2)\)

ดังนั้น \(b=2005,4010\) ดังนั้น \(3y-2005=2005\) และ \(3y-2005=4010\) ได้ว่า \(y=2005\) เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น
แทนค่า \(y\) ลงใน (1) จะได้ว่า \(x=0\) แต่เนื่องจาก \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวกจะได้ว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ -o-

Edit (warut): quote โจทย์

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gools:
ให้ \(401\not| a\) โดย Fermat's Little Theorem จะได้ว่า \(a^{400}\equiv1(\bmod401)\) และ
\((3a^2)^{200}\equiv1(\bmod401)\)

ไม่เข้าใจครับว่า \((3a^2)^{200}\equiv1\pmod{401}\) มาได้ยังไง

[gools]

เนื่องจาก \(3a^2 \equiv -b^2 (\bmod 401) \) ครับ
จะได้ว่า \((3a^2)^{200} \equiv (-b^2)^{200}=b^{400} \equiv 1 (\bmod 401) \)

[warut]

อ๋อ...เข้าใจแล้ว เป็นการพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมจริงๆครับ