Trigonometry จาก USAMO !!!

[Suwiwat B]

Prove that the average of the numbers $n sin n (n = 2, 4, 6, . . . , 180)$ is $cot 1.$

[กิตติ]

ช่วยเขียนโจทย์ทิ้งไว้ก่อน เพื่อให้ง่ายในการดู

$\dfrac{2sin2+4sin4+6sin6+...+180sin180}{90} = cot1 $

$sin2=sin178$
$sin4=sin176$
ไปจนถึง
$sin88=sin92$

$2sin2+4sin4+6sin6+...+180sin180 = 180(sin2+sin4+sin6+...+sin88) +180sin180+90sin90$
$sin180=0,sin90=1$

มาคิด$sin2+sin4+sin6+...+sin88$

$sin2+sin4+sin6+...+sin88=\dfrac{2sin1}{2sin1} (sin2+sin4+sin6+...+sin88)$
$sin2+sin4+sin6+...+sin88=\dfrac{1}{2sin1} \times (2sin1sin2+2sin1sin4+...+2sin1sin88) $
$=\dfrac{1}{2sin1} \times([cos1-cos3]+[cos3-cos5]+...+[cos85-cos87]+[cos87-cos89]) $
$=\dfrac{1}{2sin1} \times([cos1-cos89]) $

$= \dfrac{1}{2}(cot1-1)$....นำไปแทนในสมการ

$\dfrac{2sin2+4sin4+6sin6+...+180sin180}{90} =\dfrac{1}{90}\times (90(cot1-1) +90sin90) =cot1$.....ได้ตามโจทย์ต้องการ

ไม่รู้ว่าเป็นข้อสอบUSAMOปีไหนครับ...น่าจะรุ่นปี197-กว่าหรือ198-กว่ามั้งครับ