Number Theory Marathon

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ gon:

อยู่ฉลองของใหม่กันสักปีก่อนครับ ใกล้แล้ว

ครับ... ก็จะพยายามมาเล่นเท่าที่มีโอกาสแหละครับ

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
45. Find the natural numbers $N$ so that $N\times8888$ contains all the digits of the decimal system, each taken once.

ผมลองใช้คอมพิวเตอร์หาดู ปรากฎว่ามีคำตอบถึง 352 คำตอบแน่ะครับ ตัวเล็กสุดคือ $$139041 \times 8888 = 1235796408$$ ตัวใหญ่สุดคือ $$1111095 \times 8888 = 9875412360$$

[nongtum]

คำตอบมันไม่ unique อยู่แล้วล่ะครับ แต่ทึ่งๆจริงใช้คอมค้นและคำนวณได้ขนาดนี้ เพราะคำตอบที่ผมมีมันแสดงให้ดูค่าเดียว

ที่น่าสนใจกว่า คือ หากไม่ใช้คอม จะแสดงอย่างไรว่ามันมี 352 คำตอบที่สอดคล้องจริงๆ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ที่น่าสนใจกว่า คือ หากไม่ใช้คอม จะแสดงอย่างไรว่ามันมี 352 คำตอบที่สอดคล้องจริงๆ

ถ้าจะยากนะครับสำหรับคำถามสไตล์นี้

ผม list ให้ดูเลยละกันว่า 352 ตัวมีอะไรบ้าง

139041, 139941, 141066, 142416, 158256, 160956, 164331, 168381, 169047, 169596,
171072, 172071, 176697, 177696, 179172, 179721, 180846, 183321, 188946, 190971,
191673, 192006, 194706, 195723, 198081, 199098, 201798, 202131, 202797, 202923,
204822, 206469, 206973, 207369, 208494, 209844, 210348, 210447, 212922, 213048,
217719, 217791, 218619, 218691, 219744, 219816, 221094, 221166, 228618, 229293,
231993, 232668, 284868, 285543, 288243, 288918, 353367, 353394, 354267, 354294,
354492, 354519, 355392, 355419, 364617, 365517, 365742, 366642, 384462, 384912,
390537, 392337, 394596, 394632, 397071, 397107, 402696, 402732, 404721, 404757,
405846, 406458, 408258, 408321, 409644, 410544, 410769, 411669, 413883, 413946,
414333, 415971, 428382, 430857, 436482, 438507, 440208, 440712, 441162, 442008,
446787, 447633, 448083, 448587, 451584, 451809, 452736, 452961, 458361, 458586,
459459, 459684, 461727, 461952, 463986, 463995, 464211, 464220, 469611, 469620,
469836, 469845, 471852, 472077, 472977, 473202, 474120, 474345, 481995, 482220,
483102, 483327, 506547, 507132, 508572, 509607, 514197, 515232, 516672, 517257,
530334, 530370, 530559, 530595, 538209, 538245, 538434, 538470, 540297, 540882,
542322, 542745, 542970, 543357, 547947, 548370, 548595, 548982, 550422, 551007,
585243, 585918, 595368, 596043, 596493, 597168, 606618, 607293, 608256, 608922,
610722, 610956, 614331, 616347, 616797, 618381, 631458, 633258, 638883, 639333,
641673, 642006, 644706, 645723, 648081, 649098, 651798, 652131, 652923, 656973,
660348, 663048, 665172, 665208, 666972, 667008, 672597, 672633, 673047, 673083,
676584, 676809, 684459, 684684, 697743, 698418, 707868, 708543, 708993, 709029,
709668, 709704, 719118, 719154, 719793, 719829, 720279, 720954, 730404, 731079,
755334, 755559, 763209, 763434, 803367, 803439, 804267, 804339, 804492, 804564,
805392, 805464, 814041, 814617, 814941, 815517, 815742, 816066, 816642, 817416,
859689, 860589, 860814, 861714, 881424, 882774, 883899, 884799, 892674, 892791,
893691, 894024, 894816, 895149, 896049, 896166, 911727, 911952, 921852, 922077,
922977, 923202, 933102, 933327, 934029, 934704, 938565, 939240, 939690, 940365,
944154, 944829, 945279, 945954, 948690, 949365, 952065, 952740, 955404, 956079,
959940, 960615, 963315, 963990, 972315, 972990, 973440, 974115, 1015236, 1015461,
1016118, 1016793, 1019493, 1020168, 1020861, 1021086, 1026486, 1026495, 1026711, 1026720,
1028394, 1028439, 1029294, 1029339, 1029519, 1029564, 1030419, 1030464, 1032111, 1032120,
1032336, 1032345, 1036620, 1036845, 1044495, 1044720, 1051065, 1051740, 1052190, 1052865,
1061190, 1061865, 1064565, 1065240, 1072368, 1072440, 1073043, 1073115, 1075743, 1075815,
1076418, 1076490, 1084644, 1084689, 1084815, 1085490, 1085544, 1085589, 1085769, 1085814,
1085940, 1086615, 1086669, 1086714, 1092870, 1093095, 1100745, 1100970, 1105245, 1105470,
1110870, 1111095

[warut]

46. Find all pairs $(x,y)$ of non-negative integers such that $x^2+3y$ and $y^2+3x$ are simultaneously perfect squares.

[warut]

Hint for Problem 46: WLOG, we can assume that $y\le x$.

[Mathophile]

ข้อ 46. ครับ
เห็นได้ชัดว่า $(x,y)=(0,0),(3t^2,0),(0,3t^2)$ เป็นคำตอบ ($t$ เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์)
พิจารณากรณี $x,y$ เป็นจำนวนนับ
จะพบว่า $x^2+3y$ เป็นกำลังสองของจำนวนนับที่มากกว่า $x$
ดังนั้น $x^2+3y=(x+m)^2$ สำหรับบางจำนวนนับ $m$
ทำนองเดียวกันจะได้ $y^2+3x=(y+n)^2$ สำหรับบางจำนวนนับ $n$
แก้ระบบสมการ จะได้
$$x=\frac{2m^2n+3n^2}{9-4mn},y=\frac{2mn^2+3m^2}{9-4mn}$$
เนื่องจาก $x,y,m,n$ เป็นจำนวนนับทุกตัว
จึงได้ $9-4mn>0$
ดังนั้น $(m,n)=(1,1),(1,2),(2,1)$
แทนค่าใน $x,y$ จะได้ $(x,y)=(1,1),(16,11),(11,16)$
เพราะฉะนั้น คู่อันดับทั้งหมดที่สอดคล้องคือ $(0,0),(3t^2,0),(0,3t^2),(1,1),(16,11),(11,16)$ เมื่อ $t$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์

ปล. วิธีนี้ไม่ได้ใช้ hint ของคุณ warut เลยอ่ะครับ ไม่ทราบว่าวิธีของคุณ warut เป็นอย่างไรหรอครับ

[warut]

ว้าว...สวยงามมากครับ นี่ถ้าคิดได้เองถือว่าสุดยอดจริงๆ โจทย์ข้อนี้ผมเอามาจาก โจทย์ข้อ 41. ของกระทู้อันนึงที่ วิชาการ.คอม ซึ่งไม่มีเฉลย และที่ผมคิดได้เป็นดังนี้ (มันไม่ค่อยสวยนะครับ)

เอาเฉพาะกรณีที่ $x,y\in\mathbb N$ นะครับ

เนื่องจากสมมาตรของระบบสมการ (นั่นคือถ้า $(x,y)=(a,b)$ เป็นคำตอบแล้ว $(x,y)=(b,a)$ จะเป็นคำตอบด้วย) เราจึงสมมติได้ิว่า $y\le x$ โดยไม่ทำให้เสียนัยทั่วไป

จะเห็นว่า $x^2+3y\ge(x+1)^2$

ถ้า $x^2+3y\ge(x+2)^2$ เมื่อกระจายออกมา และ simplify แล้ว เราจะได้ว่า $$y\ge \frac{4(x+1)}{3} >x$$ จึงขัดแย้งกับที่สมมติไว้ว่า $y\le x$

แสดงว่า $x^2+3y=(x+1)^2$ นั่นคือ $3y=2x+1$ แทนค่า $x$ ลงในสมการ $y^2+3x=t^2$ หลังจาก simplify โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์แล้ว เราจะได้ว่า $$105= (4y+9)^2-(4t)^2 = (4y+4t+9) (4y-4t+9) $$ แยกตัวประกอบของ 105 แล้วแก้สมการ จะพบค่า $y$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกคือ 1 กับ 11 ซึ่งจะนำเราไปสู่คำตอบทั้งหมดตามที่ี่คุณ Mathophile แสดงไว้ครับ

หมายเหตุ: ผมเพิ่งมาจับต้นชนปลายถูกเมื่อกี๊นี่เองว่า โจทย์ข้อนี้มาจากหนังสือที่คุณ passer-by เอามาแจกเมื่อเร็วๆนี้ เฉลยในหนังสือนั่น (ซึ่งผมก็ยังไม่ได้อ่าน) เป็นดังนี้ครับ

[Mathophile]

ลองข้อนี้กันครับ...
47. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ และ $\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}=k$ จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ ห.ร.ม. $(x,y)=1$

[nooonuii]

มาช่วยเติมโจทย์ครับ

48. จงหาคู่อันดับของจำนวนเต็ม $(x,y)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$$x^2+y^2=2xy^3$$

[warut]

48. ถ้ามองว่าสมการโจทย์เป็น quadratic ในเทอมของ $x$ เราจะต้องได้ discriminant ซึ่งก็คือ $4y^2(y^4-1)$ เป็น perfect square

ถ้า $y=0$ เราจะได้ $x=0$

ถ้า $y\ne0$ เราจะได้ว่า $y^4-1$ ต้องเป็น perfect square

ให้ $z^2=y^4-1$ นั่นคือ $(y^2-z)(y^2+z)=1$ แสดงว่า $y^2-z=y^2+z=\pm1$ ดังนั้น $y^2=1$ นั่นคือ $y=\pm1$ แทนค่าย้อนกลับไป เราจะได้คำตอบในกรณีนี้คือ $(x,y)=(1,1),(-1,-1)$

ดังนั้นคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดคือ $(x,y)=(0,0), (1,1), (-1,-1)$ ครับ

[nooonuii]

ข้อ 48 คุณ Warut คิดเหมือนผมเลยครับ หลอกคุณ Warut ไม่เคยสำเร็จ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mathophile

47. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ และ $\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}=k$ จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ ห.ร.ม. $(x,y)=1$

จากเงื่อนไข $\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}$ จะพบว่าสมการเป็นจริงเมื่อ $x=y$ นั่นคือ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก
โดยเงื่อนไข $\gcd(x,y)=1$ จะพบว่า $x,y$ เป็นจำนวนคู่ไม่ได้ ดังนั้น $x=y=k=1$ ###

[Mathophile]

ผมคิดว่า $x,y$ ไม่ใช่แค่เป็นจำนวนคู่ไม่ได้อ่ะครับ เพราะ $1=\gcd(x,y)=\gcd(x,x)=x$
ฉะนั้น $x=y=1$ เป็นเพียงกรณีเดียวที่เป็นไปได้
ขออนุญาตเพิ่มโจทย์อีกข้อนะครับ จริง ๆ ตั้งใจจะให้ข้อ 47. เป็นแบบนี้ แต่ตอนนั้นเบลอไปหน่อย
49. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ที่ผลต่างระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเท่ากับ $k$ จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $\gcd(x,y)=1$

[nongtum]

49. กรณี $x=y$ จะได้ $x=y=1,\ k=0$ (ดูข้อ 47) ดังนั้นสมมติให้ $x\ne y$
เพราะ $\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=k>0$ ยกกำลังสองแล้วแทน $\sqrt{xy}=\frac{x+y}{2}-k$ หลังจากจัดรูปจะำได้ $$3(x+y)^2-4k(x+y)-4k^2=\left(3(x+y)+2k\right)\left((x+y)-2\right)=0$$
กรณี $x+y=2k$ จะได้ $\sqrt{xy}=0$ ทำให้ $x=0$ หรือ $y=0$ ขัดกับเงื่อนไขโจทย์
กรณี $x+y=-2k/3$ จะพบว่า $\sqrt{xy}=-4k/3<0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ููดังนั้น $k=0$ เมื่อ $x=y=1$###

[Mathophile]

ถ้า $k=0$ แล้ว $\gcd(x,y)$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 1 (เพราะจะได้ $x=y$ ทำให้ $\gcd(x,y)=\gcd(x,x)=x$ ซึ่ง $x$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 1 เสมอไป)
$k$ ที่เป็นคำตอบจะต้องทำให้ $\gcd(x,y)=1$ เสมอ ไม่ว่า $x,y$ จะเป็นอะไรก็ตามที่ A.M. และ G.M. ต่างกัน $k$ ครับ