Number Theory Marathon

[kanakon]

พอดีเพื่อนเอาหนังสือมาให้ใหม่ชื่อ mathematical olympiad challenges ของ Titu Andreescu และ Razvan Gelca
เลยขอโพสท์โจทย์ประเดิมนะครับ

50. Prove that all terms of the sequence given by $a_1=1$,
$$a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3{a_n}^2-2} $$
are integers.

[pathpot]

ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ให้ P(x) แทนข้อความ $\sqrt{3(a_x)^2 - 2}$ เป็นจำนวนเต็ม ; x เป็นจำนวนนับ

ขั้นฐาน P(1) จริง

ขั้นอุปนัย
สมมติให้ P(n) จริง นั่นคือ $\sqrt{3(a_n)^2 - 2}$ เป็นจำนวนเต็ม
จะแสดงว่า P(n+1) จริง

จากสมการเวียนเกิดย้ายข้างแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

$(a_{n+1}-2a_n)^2 = 3(a_n)^2 - 2$

$(a_{n+1})^2 - 4a_na_{n+1} + 4(a_n)^2 = 3(a_n)^2 - 2$
จัดรูปจะได้

$(a_{n+1}-a_n)^2 = (\sqrt{3(a_n)^2 - 2} + a_n)^2$

แต่ $\sqrt{3(a_n)^2 - 2}$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้

$a_{n+1}-a_n = k$ ; k เป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือ $a_{n+1} = a_n + k$ เป็นจำนวนเต็ม

สรุปได้ว่า $a_{n+1}$ เป็นจำนวนเต็มทุกๆ n เป็นจำนวนนับ

[Mathophile]

ตามหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เราต้องแสดงให้ได้ว่า $\sqrt{3(a_{n+1})^2-2}$ เป็นจำนวนเต็ม ไม่ใช่หรอครับ...

[pathpot]

โทษทีคับ ละตอนสรุปอุปนัยไปนิดหน่อย ก่อนหน้านั้นต้องสรุปอย่างนั้นก่อน แล้วก็ต่อด้วยสรุปโจทย์ครับ

[tatari/nightmare]

ปิดกระทู้กันหรือยังครับ ถ้ายังผมขอด้วยคนนะครับ
51.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ$$x^n+(2550+x)^n+(2550-x)^n=0$$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
แต่ถ้าปิดแล้วก็ขออภัยด้วยคร้าบ....

[nongtum]

กระทู้ัมาราธอนทุกกระทู้ยังไม่ปิดครับ ขอนับข้อของคุณ tatari/nightmare เป็นข้อ 51 ละกันครับ แต่จะว่าไปข้อนี้มันออกพีชคณิตนิดๆนะครับเนี่ย...

[tatari/nightmare]

ผมเติมเลขข้อให้แล้วครับ ข้อนี้ผมดัดแปลงมาจากโจทย์แข่งขันของประเทศหนึ่งครับ(ขอไม่บอกแล้วกันว่าประเทศอะไร)

[tatari/nightmare]

เงียบสนิท ....

[nongtum]

...อย่าเพิ่งถอดใจไปก่อน มันเป็นเรื่องปกติของกระทู้พรรค์นี้ครับ สักวันคงมีใครมาลงคำตอบแหละครับ
ตอนนี้ผมยังคิดไม่ออกนะ แต่พอมีไอเดียฟัดกับมันอยู่้หน่อย แต่หากขี้เกียจรอจริงๆจะใบ้ก่อนหรือลงเฉลยเลย แล้วตั้งข้อถัดไปต่อเราก็ยินดีครับ

[tatari/nightmare]

ผมไม่นึกเลยนะครับว่าแค่เปลี่ยนจากเลข 2 เป็นเลข 2550 มันทำให้ยากขึ้นเป็น 10 เท่า!!!
วิธีทำ(คร่าวๆ)ของผมเนี่ย ผมจะพยายามแสดงว่า $n=1$ เท่านั้น โดยเราสามารถแสดงโดยง่ายว่า $n$ เป็นคู่ไม่มีวันเป็นไปได้ หลังจากนั้นผมก็กระจายพจน์ที่ให้มาด้วยทวินาม ได้ ส.ป.ส หน้า $x^n$ เป็น 1 และ ส.ป.ส ค่าคงที่เป็น$2\bullet2550^n$ โดยทบ.รากตรรกยะ(เค้าเรียกกันอย่างนี้รึเปล่า ) จะได้ว่า รากทุกตัวที่เป็นตรรกยะจะหาร $\frac{2\bullet 2550^n}{1}=2\bullet2550^n$ ลงตัว จากนั้นก็แยก Case รูปแบบของรากที่เป็นไปได้ทั้งหมด(กว่าจะจบมันยาวนานมากครับ)
จากทั้งหมดจะเห็นว่าถ้าโจทย์ข้อนี้ 10 คะแนน ผมว่าไปทำข้ออื่นดีกว่า

[tatari/nightmare]

โจทย์ข้อ51. เอาไว้ผมเรียบเรียงวิธีของผมให้สั้นและทึกน้อยกว่านี้ หรือมีวิธีที่สั้นกว่านี้(ผมให้เพื่อนลองทำไป 2-3 คนแล้ว) ผมจะเอามาลงให้ครับ ตอนนี้ขอนำโจทย์เบาสมองมาให้ก่อนแล้วกันครับ
52.ให้ $a,b,c\in\mathbb{N}$ ซึ่ง $$a+b+c=(a,b)+(b,c)+(c,a)+2549$$ จงหาค่าที่มากที่สุดของ $a$

[Mathophile]

ขออนุญาตคืนชีพกระทู้นี้ครับผม

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pathpot

ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
ให้ P(x) แทนข้อความ $\sqrt{3(a_x)^2 - 2}$ เป็นจำนวนเต็ม ; x เป็นจำนวนนับ

ขั้นฐาน P(1) จริง

ขั้นอุปนัย
สมมติให้ P(n) จริง นั่นคือ $\sqrt{3(a_n)^2 - 2}$ เป็นจำนวนเต็ม
จะแสดงว่า P(n+1) จริง

จากสมการเวียนเกิดย้ายข้างแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

$(a_{n+1}-2a_n)^2 = 3(a_n)^2 - 2$

$(a_{n+1})^2 - 4a_na_{n+1} + 4(a_n)^2 = 3(a_n)^2 - 2$
จัดรูปจะได้

$(a_{n+1}-a_n)^2 = (\sqrt{3(a_n)^2 - 2} + a_n)^2$

แต่ $\sqrt{3(a_n)^2 - 2}$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้

$a_{n+1}-a_n = k$ ; k เป็นจำนวนเต็ม
นั่นคือ $a_{n+1} = a_n + k$ เป็นจำนวนเต็ม

สรุปได้ว่า $a_{n+1}$ เป็นจำนวนเต็มทุกๆ n เป็นจำนวนนับ

ผมกลับมาอ่านอีกรอบแล้วก็งงอีกแล้วครับว่าทำไมถึงบอกได้เลยว่า $a_{n+1}$ เป็นจำนวนเต็มทุกๆ n เป็นจำนวนนับ
ผมคิดว่าน่าจะต้องแสดงให้ได้ว่า P(n+1) เป็นจริงซึ่งก็คือ $\sqrt{3(a_{n+1})^2 - 2}$ เป็นจำนวนนับ ใช่อย่างนี้หรือเปล่าครับ

ส่วนข้อ 52. ขอคำใบ้ด้วยครับ

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

ปิดกระทู้กันหรือยังครับ ถ้ายังผมขอด้วยคนนะครับ
51.จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดที่ทำให้สมการ$$x^n+(2550+x)^n+(2550-x)^n=0$$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม
แต่ถ้าปิดแล้วก็ขออภัยด้วยคร้าบ....

ผมขอเสนออีก solution นะครับ
$\because x^n+(2550+x)^n+(2550-x)^n=0$
เห็นได้ชัดว่า $n$ เป็นจำนวนคี่
พิจารณา $x$ เพราะว่า $(2550+x)^n\geq (2550-x)^n$ เมื่อ $x\geq 0$ จะได้ว่า $x<0$
สมมติ $x=-k$ จะได้ $-k^n+(2550-k)^n+(2550+k)^n=0$
จาก Fermat's Last theorem จะได้ $n=1$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นและจะได้ $x=-5100$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanakon

พอดีเพื่อนเอาหนังสือมาให้ใหม่ชื่อ mathematical olympiad challenges ของ Titu Andreescu และ Razvan Gelca
เลยขอโพสท์โจทย์ประเดิมนะครับ

50. Prove that all terms of the sequence given by $a_1=1$,
$$a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3{a_n}^2-2} $$
are integers.

ผมว่าก่อนจะใช้ induction ควรทำอะไรบางอย่างก่อน
เห็นได้ชัดว่า $a_{n+1}>a_n$ ทุก $n$
จัดรูป $a_{n+1}$ ใหม่ได้
$a_{n+1}^2-4a_na_{n+1}+a_n^2+2=0$
ดังนั้น
$a_{n+2}^2-4a_{n+1}a_{n+2}+a_{n+1}^2+2=0$
นำสองสมการมาลบกันแล้วจัดรูปได้
$(a_{n+2}-a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+a_n)=0$
แต่ $a_{n+2}-a_n>a_{n+1}-a_n>0$
ดังนั้น
$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ ทุก $n\geq 2$
คราวนี้แสดงได้ไม่ยากแล้วครับว่า $a_n$ เป็นจำนวนเต็ม ทุก $n$

[Anarist]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

52.ให้ $a,b,c\in\mathbb{N}$ ซึ่ง $$a+b+c=(a,b)+(b,c)+(c,a)+2549$$ จงหาค่าที่มากที่สุดของ $a$

อยากหาโจทย์มาลงเหมือนกัน แต่ขอทำก่อน คำตอบของผมคือ 5098 = 2x2549 ได้จาก a=5098 b=c=2549
Proof. Assume without loss of generality that $a \geq b \geq c$
- Case $b>c$.
We know $(a,c) | a$ and $(a,c) \leq c < a$. Thus $(a,c)\leq \frac{a}{2}$.
Then $a+b+c = (a,b)+(b,c)+(c,a)+2549 \leq b + c + \frac{a}{2} + 2549$.
Hence, $\frac{a}{2} \leq 2549$ that is $a \leq 5098$
- Case b=c
Simplify the equation to a + b = 2(a,b) + 2549. Clearly a>b.
(a,b) | a,b so (a,b) | 2549. But, 2549 is a prime so (a,b) = 1,2549
If (a,b)=1, a+b =2551 so a is at most 2550
If (a,b)=2549, write a = 2549a' and b = 2549b' then a' + b' = 3.
Thus a' is at most 2. In this case, we have a =5098.
\therefore 5098 is the largest possible value for a