ปัญหาทฤษฎีจำนวนคาใจ

[nooonuii]

เพิ่งได้อ่านหนังสือทฤษฎีจำนวนของโครงการสอวน.ครับเลยจำได้ว่ามีโจทย์ปัญหาคาใจอยู่ข้อนึงที่ solve (ด้วยวิธีธรรมดา) ไม่ได้ซักที เลยเอามาถามดูเผื่อว่าใครจะมีวิธีพิสูจน์ง่ายๆมาแลกเปลี่ยนครับ

โจทย์ ให้ a,b เป็นจำนวนนับซึ่ง a|b², b²|a³,a³|b⁴,...
จงพิสูจน์ว่า a = b

My Solution

ถ้า a = 1 หรือ b = 1 เห็นได้ชัดว่าจริง
สมมติว่า a,b>1
ให้ p เป็นตัวประกอบเฉพาะของ a จะได้ว่า p|a และ a|b² ดังนั้น p|b² ซึ่งจะได้ว่า p|b
ในทำนองเดียวกัน ถ้า q เป็นตัวประอบของ b เราจะได้ว่า q|b² และ b²|a³ ดังนั้น q|a³ ซึ่งจะได้ว่า q|a
ดังนั้น a และ b มีตัวประกอบเฉพาะชุดเดียวกัน
สมมติให้
\[ \Large{ a = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{k}^{a_{k}} }\]
\[ \Large{ b = p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\dots p_{k}^{b_{k}} } \]

เนื่องจาก a^2n-1|b²ⁿ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ a_{i} \leq b_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ a|b ..........................(#)

เนื่องจาก b²ⁿ|a²ⁿ⁺¹ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ b_{i} \leq \frac{2n+1}{2n} a_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ b_{i} \leq a_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ b|a ..........................(##)
เพราะฉะนั้น a = b

[sompong2479]

Easy Problem:
Let d=gcd(a,b). Then
\[
\frac{a}{d}\Big|\left(\frac{b}{d}\right)^2d\Longrightarrow\frac{a}{d}\Big|d.
\]
Similarly, get \((a/d)^3|d,(a/d)^5|d,\ldots\) and so on. Hence \( a=d\), that is \( a|b \). Let \( b=ka\). Then one has from the \( 2,4,6,\ldots \)'th equations that
\[
k^2|a,k^4|a,\ldots
\]
and so on. This is the case if and only if \( k=1\). Done.

[gools]

วิธีการแก้ของผมแบบมั่วๆครับ
จากโจทย์ ดังนั้น \(a<b^2<a^3<b^4...\)
กรณีที่ \(a<b\) จะต้องมีค่า \(n\) ที่ทำให้ \(b^n > a^{n+1} \) แต่ \(b^n|a^{n+1}\) เกิดข้อขัดแย้ง
กรณี \(b<a\) ก็เช่นเดียวกันครับ

[sompong2479]

Wow, very nice solution, gools, indeed.

[nooonuii]

ขอบคุณคร้าบบบ
ได้เพิ่มมาอีกสอง nice and rigorous solutions

[prachya]

พี่ noonuii ครับ ไม่ทราบว่า พี่หาซื้อหนังสือสอวน.ที่ไหนหรอครับ ผมหามะเจอเลย หรือว่าหามะดีหงะครับ แบบว่าเดินแต่ตามห้างอะครับ ร้านพวกแพร่ se-ed ไรพวกนี้จามีไหมอะครับ หรือว่าต้องหาตามศูนย์หนังสือใหญ่ๆอย่างเดียว

[nooonuii]

พี่ซื้อที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ ครับ ไม่ทราบเหมือนกันว่ามีวางขายที่ไหนบ้าง แต่ไปที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯแล้วไม่ค่อยพลาดหนังสือแนวนี้เลยไปบ่อยครับ

[prachya]

ครับผม ไว้ผมฝากเพื่อนไปดูละกาน แหะๆ ผมมะค่อยว่างไปไหน

[PaoBunJin]

ถามคุณ gools หน่อยนะครับ จากคำตอบ น่ะครับ ที่บอกว่า กรณีที่ a < b จะต้องมีค่า n ที่ทำให้ b^{n} > a^{n+1} พิสูจน์ให้ดูหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ

[tunococ]

เทค log เข้าไป ก็หาค่า n ได้ครับ

[chikage - a thousand shadows]

ทำอย่างนี้ได้มั้ย...
ให้ a = p1^a1p2^a2...pk^ak และ b = p1^b1p2^b2...pk^bk
เมื่อ p1, p2, p3, ... pk เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ปรากฎใน a หรือ b
สำหรับ 1ฃiฃk ใดๆ จะได้ว่า aiฃ2biฃ3aiฃ4bi... (จาก a | b², b² | a³ ...)
ถ้า ai = 0 จะได้ bi = 0 นั่นคือ ai=bi
ถ้า ai น 0 จะได้ว่า ai > 0 เราได้อสมการต่อไปนี้เป็นจริงทุกๆ n ฮ Z⁺
(2n-1)/2n ฃ bi/ai ฃ (2n+1)/2n...(*)
สมมติว่า bi/ai > 1 จะได้ว่ามี k ฮ Z⁺ ซึ่ง bi/ai = 1 + 1/k
แต่โดย archimedean property เราได้ว่ามี n₀ ฮ Z⁺ ซึ่ง n₀ > k/2 ดังนั้นจะได้ว่า 1 + 1/k > 1 + 1/2n₀ ขัดแย้งกับ * ซึ่งเป็นจริงทุกจำนวนนับ ในทำนองเดียวกันสามารถแสดงได้ว่า bi/ai < 1 ไม่ได้เช่นกัน
ดังนั้น bi/ai = 1 นั่นคือ bi = ai

เราจึงได้ว่า ai = bi ทุกๆ 1ฃiฃk นั่นคือ a = b

[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เพิ่งได้อ่านหนังสือทฤษฎีจำนวนของโครงการสอวน.ครับเลยจำได้ว่ามีโจทย์ปัญหาคาใจอยู่ข้อนึงที่ solve (ด้วยวิธีธรรมดา) ไม่ได้ซักที เลยเอามาถามดูเผื่อว่าใครจะมีวิธีพิสูจน์ง่ายๆมาแลกเปลี่ยนครับ

โจทย์ ให้ a,b เป็นจำนวนนับซึ่ง a|b², b²|a³,a³|b⁴,...
จงพิสูจน์ว่า a = b

My Solution

ถ้า a = 1 หรือ b = 1 เห็นได้ชัดว่าจริง
สมมติว่า a,b>1
ให้ p เป็นตัวประกอบเฉพาะของ a จะได้ว่า p|a และ a|b² ดังนั้น p|b² ซึ่งจะได้ว่า p|b
ในทำนองเดียวกัน ถ้า q เป็นตัวประอบของ b เราจะได้ว่า q|b² และ b²|a³ ดังนั้น q|a³ ซึ่งจะได้ว่า q|a
ดังนั้น a และ b มีตัวประกอบเฉพาะชุดเดียวกัน
สมมติให้
\[ \Large{ a = p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{k}^{a_{k}} }\]
\[ \Large{ b = p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}}\dots p_{k}^{b_{k}} } \]

เนื่องจาก a^2n-1|b²ⁿ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ a_{i} \leq b_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ a|b ..........................(#)

เนื่องจาก b²ⁿ|a²ⁿ⁺¹ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ b_{i} \leq \frac{2n+1}{2n} a_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ b_{i} \leq a_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ b|a ..........................(##)
เพราะฉะนั้น a = b

\[ \Large{ b_{i} \leq \frac{2n+1}{2n} a_{i} } \]
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \]
สองบรรทัดนี้มาจากใหนอ่ะครับ

[nooonuii]

มาจาก $a^{2n-1}\mid b^{2n}$ ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เนื่องจาก a^2n-1|b²ⁿ ทุกค่า nณ1 เราจะได้ว่า
\[ \Large{ a_{i} \leq \frac{2n}{2n-1} b_{i} } \]
ทุกค่า i=1,...,k และทุกค่า nณ1
ดังนั้น \( \Large{ a_{i} \leq b_{i} } \) ทุกค่า i
นั่นคือ a|b ..........................(#)

ทำไมสรุปได้ว่า $a_i\le b_i$ เหรอครับ เพราะเรารู้เเค่ $a_i\le \dfrac{2n}{2n-1}b_i$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ทำไมสรุปได้ว่า $a_i\le b_i$ เหรอครับ เพราะเรารู้เเค่ $a_i\le \dfrac{2n}{2n-1}b_i$

เป็นสมบัติของลำดับครับ

ถ้า $a_n\leq b_n$ ทุกค่า $n$ และลิมิตของทั้งคู่หาค่าได้แล้ว

$$
\lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n
$$