Geometry marathon

[tunococ]

กระทู้นี้เงียบไปเลย ...

[Punk]

The gradient of F is a normal vector to the surface \(F(x,y,z)=0\). Similarly, grad G is a normal vector to the surface \(G(x,y,z)=0\). The intersecting line of two surfaces is orthogonal to these vectors. So tangent vectors are multiple of \(\text{grad}\; F\times \text{grad}\; G\).

This is not a problem in elementary geometry. It should be an Advanced Calculus problem!!!

[R-Tummykung de Lamar]

ผมขอเอาคำถามง่ายๆมาซักข้อละกันนะครับ กระทู้จะได้เดิน
4. (MTPC) จงพิสูจน์ว่า ห้าเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน เมื่อมีมุมเท่ากันคู่หนึ่งแล้ว จะมีมุมที่เท่ากันอีกคู่หนึ่ง

[Alberta]

กรณีที่ 1 สมมุติว่า มุม C = มุม D เท่ากับ มุม x
สร้าง BC และ ED ต่อจนถึง O
จะได้ มุม DCO เท่ากับ มุม CDO เท่ากับ 180-x และมุม COD = 2x-180
นั่นคือ CO = DO ทำให้ BO = OE
พิจารณา สามเหลี่ยม BOE จะได้ มุม OBE = OEB = x
พิจารณา สามเหลี่ยม ABE จะได้ มุม ABE = AEB = *
ดังนั้นมุม ABC = AED = X + *
กรณีที่ 2 สมมุติว่ามุม C = A = X
สร้าง BD , BE จะได้มุม CBD = CDB = 90 ? X/2 และมุม ABE =AEB = 90 ? X/2
จะได้โดยไม่ยากว่าสี่เหลี่ยม BCD เท่ากันทุกประการ ABE ดังนั้น BD = BE
จึงได้มุม BDE = BED = *
ดังนั้นมุม CDE = AED =90 + * - X/2
จึงได้เป็นกรณีทั่วไปว่า ห้าเหลี่ยมที่มีด้านเท่าทุกด้านเมื่อมีมุมเท่ากันคู่หนึ่งแล้ว จะมีมุมที่เท่ากันอีกคู่หนึ่ง

[Char Aznable]

ไม่มีคนตั้งผมขอนะครับ
5.Let ABC be an isosceles triangle s, AB=AC Let D be the midpoint of AC ,E be point on BC such that DE and BC are perpendicular Let F be the midpoint of DE Prove that if AE and BF are perpendicular then AB=BC=AC

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
5.Let ABC be an isosceles triangle s, AB=AC Let D be the midpoint of AC ,E be point on BC such that DE and BC are perpendicular Let F be the midpoint of DE Prove that if AE and BF are perpendicular then AB=BC=AC

วาดรูปตามโจทย์ แล้วกำหนดให้ \(\vec{EC}=\vec{a},\ \vec{CD}=\vec{DA}=\vec{b}\) จะได้ \(
\vec{BE}=3\vec{a},\ \vec{AB}=-(4\vec{a}+2\vec{b}), \vec{ED}=\vec{a}+\vec{b}=2\vec{EF}\) ดังนั้น
\[\begin{array}{lcrcll}
\vec{AE}\cdot\vec{BF}
=-\frac{1}{2}(7\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})=0
&\Rightarrow{}
&7|\vec{a}|^2+2|\vec{b}|^2+15\vec{a}\cdot\vec{b}&=&0
&...(i)
\\
\vec{ED}\cdot\vec{EC}=\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})
=|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}=0
&\Rightarrow
&{}|\vec{a}|^2&=&-\vec{a}\cdot\vec{b}
&...(ii)
\\
\end{array}\]แทน (ii) ใน (i) แล้วหาความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ a และ b จะได้ \(|\vec{b}|=2|\vec{a}|\) อันหมายถึงสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ###

ข้อถัดไปครับ
6. Given a triangle ABC. Construct point D on the side BC so that the incircles of triangles ABD and ADC tangent to each other.

[Alberta]

คุณChar Azanable ครับ
มีเฉลยโดยใช้Plane Geometry ไหมครับ

....................................................................................................................
ขอใช้สิทธิ์ครั้งที่แล้วครับ
Let A, B and C be points on a circle γ, with |AB|=|AC|. Let P be any point on γ on the opposite side of the line BC from A. Let X be the point on the line PC such that AX is perpendicular to PC. Show that |PB|+|PC|=2|PX|.

[Tony]

ช่วยแปลโจทย์ให้ได้มั้ยอะครับ

[nongtum]

เอาแต่ใจความ แปลตรงไหนผิดช่วยท้วงด้วยนะครับ

6. (nongtum) จงสร้างจุด D บนด้าน BC ของสามเหลี่ยม ABC ซึ่งทำให้วงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABD และ ADC สัมผัสกัน
7. (Alberta)ให้ A,B,C เป็นจุดบนวงกลม Y, |AB|=|AC|, ให้ P เป็นจุดใดๆบน Y ที่อยู่ตรงข้ามเส้น BC จาก A ให้ X เป็นจุดบน PC ที่ทำให้ AX ตั้งฉากกับ PC จงแสดงว่า |PB|+|PC|=2|PX

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:

Let A, B and C be points on a circle γ, with |AB|=|AC|. Let P be any point on γ on the opposite side of the line BC from A. Let X be the point on the line PC such that AX is perpendicular to PC. Show that |PB|+|PC|=2|PX|.

-----------------------------------------------------------------------------------------------
ให้ A,B,C เป็นจุดบนวงกลม γ โดยที่ AB = AC
ให้ P เป็นจุดใดๆบน γ ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับจุด A เมื่อเทียบกับเส้นตรง BC
และให้ X เป็นจุดบนเส้นตรง PC ซึ่งทำให้ AX ตั้งฉากกับ PC
จงแสดงว่า PB + PC = 2PX
-----------------------------------------------------------------------------------------------
จัดให้ครับ

[Alberta]

กระทู้ไม่คืบหน้าเลยครับ
คือว่าอีกอย่างผมก็ยังแก้ปัญหาข้อของพี่nongtumไม่ได้ที ครับ
แต่...ก็จะพยายามแก้ครับ

[TOP]

ข้อของคุณ nongtum พี่ตั้งข้อคาดเดาไว้ว่า D เป็นจุดสัมผัสของวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC กับด้าน BC และตรวจสอบโดยใช้ WinGeom แล้วถูกต้อง ลองเอาไปคิดต่อนะครับ ว่าจะพิสูจน์อย่างไรต่อไป

[Punk]

ข้อของคุณ nt

ง่ายมากๆๆๆๆๆ ที่ top คิดนะถูกแล้วครับ พิสูจน์ได้จากสูตร BD=(AB+BC-AC)/2 ครับ (ยืมรูป top)

[Alberta]

เอ่อ ....แล้วข้อของผมละครับมีใครทำได้รึยัง
(Hint:ลากรูปให้ดี แล้วก็ใช้สามเหลี่ยมคล้ายเอาได้ครับ)

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Alberta:
7. Let A, B and C be points on a circle γ, with |AB|=|AC|. Let P be any point on γ on the opposite side of the line BC from A. Let X be the point on the line PC such that AX is perpendicular to PC. Show that |PB|+|PC|=2|PX|.

วาดรูปตามโจทย์แล้วต่อ PC ไปทาง C ไปถึงจุด P' โดยที่ |BP|=|CP'| จะได้ $\hat{BAP}=\hat{BCP},\ \hat{ACB}=\hat{APB}$ ซึ่งจะได้ $\hat{ABP}=180°-\hat{ACP}=\hat{ACP'}$ ดังนั้นจะได้ $\Delta{ABP}=\Delta{ACP'}$ (ดมด) อันหมายถึง $\Delta{APP'}$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีความยาวฐาน $|PP'|=|PB|+|PC|=2|PX|$ ตามที่ต้องการครับ ###

Another quickies
8. ให้ $\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$ แทนขนาดมุมของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละมุมตามลำดับ จงแสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลมก็ต่อเมื่อสมการต่อไปนี้เป็นจริง $$\alpha\beta+\alpha\delta+\gamma\beta+\gamma\delta=\pi^2$$

ปล.: 1. มุมตามลำดับที่ว่า ไม่เกี่ยงครับว่าทวนเข็มหรือตามเข็มนาฬิกา แค่ให้มันเรียงตามลำดับเท่านั้น
2.ข้อ 6 ของผมน่าจะเหลือแต่การพิสูจน์ว่าทำไมจุด D จึงต้องเป็นจุดสัมผัสของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมละครับ