ปัญหา Number Theory

[kanji]

If p and p+2 are prime number such that p > 3.

To show that \( 12\mid2p+2 \)

[nongtum]

p>3, p,p+2 prime => \(p\equiv2\pmod{3}\) => \(p\equiv5\pmod{6}\)(ลองทดเองนะครับว่าทำไม) ดังนั้น 6|(p+1) ###

[kanji]

อยากรู้จังครับ ว่า ข้อความนี้
p,p+2 prime => p≡2 (mod 3)
ได้แนวคิดมายังไง ช่วยขยายหน่อยน่ะครับ

[nongtum]

ลองคิดแจงกรณีตามเศษที่ได้จากการหารด้วยสามดูครับ อย่าลืมว่า p>3 (ไม่ยาก)
ส่วน => อันหลังตัดหนึ่งกรณีทิ้งได้ เพราะ p เป็นจำนวนเฉพาะ

[gon]

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่า p = 6n + 1 หรือ 6n + 5
แต่ถ้า p + 2 เป็นจำนวนเฉพาะด้วย แสดงว่า p = 6n + 5 เท่านั้น
(เพราะถ้า p = 6n + 1 แล้ว p + 2 = 3(2n+1) ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ)

ดังนั้น 2p + 2 = 2(6n+5) + 2 = 12(n + 1) ซึ่งหารด้วย 12 ลงตัวเสมอ