Calculus Marathon

[nooonuii]

เห็นว่า trend ของปัญหาช่วงนี้เป็นโจทย์แคลคูลัสซะส่วนใหญ่ก็เลยตั้งกระทู้นี้สำหรับคนรักแคลคูลัสโดยเฉพาะครับ กติกาก็ขอลอกกระทู้มาราธอนก่อนหน้านี้ละกัน ( คนที่ตอบปัญหาได้ก็มีสิทธิ์ถามปัญหาข้อต่อไปครับ) ผมขอเริ่มก่อนละกัน

1. จงหาค่าของ $\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin{x}+\cos{x}}dx }$

[M@gpie]

ช่วงนี้ฮิตเทคนิคเหมือนข้อก่อนๆรึเปล่าครับเนี่ยเหอๆ
ให้ \( x=\frac{\pi}{2} - y \) จะได้ \( dx = -dy \) และ
$$
\begin{eqnarray}
\int_{0}^ {\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin x +\cos x } dx &=& \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{ \frac{\pi}{2} - y }{1+\sin y +\cos y } (-dy)\\
&=& \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{ \frac{\pi}{2}}{1+\sin y +\cos y } dy - \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{ y}{1+\sin y + \cos y } dy
\end{eqnarray}
$$
ย้ายข้างไปรวมกันจะได้

\[ 2 \int^{\frac{ \pi }{2} }_0 \frac{ x }{1+\sin x +\cos x } dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{ \frac{\pi}{2} }{1+\sin x +\cos x } dy \]
แอบอินทิเกรตก้อนหลังโดยใช้เครื่องมาจะได้
\[ \int^{\frac{ \pi }{2} }_0 \frac{ x }{1+\sin x +\cos x } dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{2}\frac{ \frac{\pi}{2} }{1+\sin x +\cos x } dy = \frac{\pi}{4}\ln2 \]

ขอใช้สิทธิ์ตั้งข้อต่อปายยยค้าบบบ
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ \( yy'' = (y')^2 \)
Hint: สมการนี้อยู่ในรูปแยกตัวแปรได้

[sompong2479]

1. เริ่มจาก $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$ เปลี่ยนตัวแปร $u=x-\pi/4$ จะได้
$$
\int_0^{\pi/2}\frac{x-\pi/4}{1+\sin x+\cos x}dx=\int_{-\pi/4}^{\pi/4}
\frac{u}{1+\sqrt{2}\cos u}du=0
$$
เพราะอินทิเกรนด์เป็นฟังก์ชันคี่บนช่วง $[-\pi/4,\pi/4]$ พิจารณา
$$
\int_0^{\pi/2}\frac{\pi/4}{1+\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}\int_0^1\frac{dv}{1+v}
=\frac{\pi\ln2}{4}
$$
โดย $v=\tan(x/2)$

[sompong2479]

2. ได้ $(\ln y')'=(\ln y)'$ ดังนั้น $\ln y'=\ln y+C_1$ ดังนั้น $y'=Cy$ สมมูลกับ $(\ln y)'=C$ เพราะฉะนั้น $\ln y=Cx+C_2$ เพราะฉะนั้น $y=De^{Cx}$

ข้อต่อไปนะครับ

3. จงหาค่า $\int_0^1(\sqrt[7]{1-x^3}-\sqrt[3]{1-x^7})dx$

[sompong2479]

ข้อ 3. คำตอบเป็นเลขลงตัวสวยๆครับ (Hint: by parts)

[passer-by]

ข้อ 3

บน x ในช่วง [0,1]

ถ้า $ y= \sqrt[7]{1-x^{3}} $ ดังนั้น $ x= \sqrt[3]{1-y^{7}} $

และทำให้ $ \int_{0}^{1} \sqrt[7]{1-x^{3}} dx =\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-y^{7}} dy $

(เพราะ เราอินทิเกรตบนพื้นที่ใต้กราฟเดียวกัน เพียงแต่ LHS มองเทียบกับ x และ RHS มองเทียบกับ y)

สรุปว่า ข้อนี้ตอบ 0 ครับ


งั้นผม ถามข้อ 4 ต่อนะครับ

4. Calculate $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}(n+1)} $$

[nooonuii]

3. จะพิสูจน์ Lemma ต่อไปนี้

Lemma : ให้ $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งโดยที่ $f(0) = 1$ และ $ f(1) = 0$ จะได้ว่า
$$
\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} f^{-1}(x) dx
$$

Proof : เพื่อความสะดวกให้ $g=f^{-1}$
ให้ $t = f(x)$ จะได้ $x = g(t)$ ดังนั้น $dx = g'(t)dt$ ซึ่งจะได้ว่า

$$
\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{1}^{0} tg'(t) dt = - \int_{0}^{1} tg'(t) dt = - [tg(t)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} g(t) dt = \int_{0}^{1} g(t) dt
$$

โดย integration by parts

ดังนั้นคำตอบข้อ 3 คือ 0 ครับ

[sompong2479]

ว้าวๆๆๆ เยี่ยมมากเลยครับสำหรับวิธีทำทั้งสองแบบ ของคุณ passer-by และ คุณ nooonuii
สำหรับวิธีของคุณ nooonuii มีจุดสำคัญอันหนึ่งครับ(ซึ่งตำราแคลเบื้องต้นเลี่ยงที่จะกล่าวถึง) สูตรการเปลี่ยนตัวแปรหรือเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร เวลาเรากำหนดตัวแปรใหม่ $u=f(x)$ มันสำคัญมากครับที่ $f$ ต้องเป็นฟังก์ชัน 1-1 บนช่วงการอินทิเกรต
ตัวอย่างเช่น $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2xdx$ ถ้าให้ $u=\cos x$ (ไม่ 1-1 บนช่วง $[-\pi/2,\pi/2]$) จะได้ช่วงการอินทิเกรตคือ $[\cos(-\pi/2),\cos(\pi/2)]=[0,0]$ ดังนั้นอินทิกรัลเท่ากับศูนย์ !!!

[nooonuii]

4. ให้ $ \displaystyle{ f(x) = \frac{2}{2-x} = \frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n, \ 0\leq x \leq 1 }$
จะได้ว่า

$\displaystyle{ 2 = f'(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} }$
$\displaystyle{ 2\ln{2} - 1 = \int_{0}^{1} f(x) dx - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(n+1)} }$

ดังนั้น

$\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(n+1)} = 2 - 1 + 2\ln{2} - 1 = 2\ln{2} }$

[Mastermander]

ทำไม $$\int_0^1 \sqrt[7]{1-x^3}dx=\int_0^1\sqrt[3]{1-y^7}dy$$

ทำไมเป็น dy

WHY ??

[passer-by]

ต้องบอกน้อง Mastermander ก่อนว่า สิ่งที่น้องเห็นในสมการนั้น ไม่ใช่การแปลงโฉมซ้ายมือ ให้เป็นขวามือนะครับ แต่เป็นการแสดงพื้นที่ใต้กราฟเป็น 2 มุมมอง คือ มองเทียบกับ แกน X (dx) และเทียบกับแกน Y (dy)

บนช่วงของ X ดังกล่าว ฟังก์ชัน $y= \sqrt[7]{1-x^{3}} $ มีจุดปลายวิ่งจาก (0,1) ไปยัง (1,0)

ถ้าต้องการหาพื้นที่ใต้กราฟ โดยมองเทียบกับแกน X จะได้

Area = $ \int_{0}^{1} \sqrt[7]{1-x^{3}} dx $

และถ้ามองเทียบแกน Y (เสมือนมองให้แกน Y อยู่แนวนอน และแกน X อยู่แนวตั้ง) ก็ต้องเขียน xเป็นฟังก์ชันของ y ให้ได้ก่อน ซึ่งก็จะได้ $ x= \sqrt[3]{1-y^{7}} $ จากนั้นก็อินทิเกรตหาพื้นที่ โดย

Area = $ \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-x^{7}} dy $

เนื่องจากเราพิจารณาพื้นที่เดียวกัน ก็เลยเกิดสมการที่ว่าข้างต้นครับ

ส่วนคำตอบคุณ nooonuii ถูกแล้วครับ และได้สิทธิ์ตั้งคำถามต่อไป

[Mastermander]

ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

5. จงหาจำนวนจริงทั้งหมดซึ่งเป็นคำตอบของสมการ

$2^x + 3^x + 6^x = 7^x$

[sompong2479]

5. $x=2$ only

[nooonuii]

ข้อ 5 x=2 เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียวถูกแล้วครับ แต่ทำไมไม่มีคำตอบอื่นครับ