Prove ให้หน่อยจ้ะ ว่าทำยังไง

[GaSLovemath]

หนูเป็นคนที่ชอบพิสูจน์ แต่มีโจทย์เกี่ยวกับลำดับอนุกรม อยากให้พี่ๆ ช่วยพิสูจน์ให้ดู

[Mastermander]

ไหนอะครับ โจทย์

[GaSLovemath]

โอ๊ย กดผิดๆ

คืองี้ค่ะ อยากให้พี่ๆ เพื่อนๆ ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยค่ะ ว่า
recurrence relation อะ

ที่อยู่ในรูป a_n = b*a_n-1+c*a_n-2 เราสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยการแทน a_n = xⁿ แล้วก็หาค่า x จากสมการ สมมติเป็น
x₁,x₂,...,x_nจากนั้นนำมาแทนใน
a_n = k₁(x₁)^k+k₂(x₂)^k+...+k_n(x_n)ⁿ หาค่า k แต่ละตัวออกมา อย่างเช่น

Ex.1 ให้ a_n เป็นลำดับที่มีคุณสมบัติโดย a_n+1=3a_n-2_n-1 โดยที่ nณ2 และ a₁=2 ,a₂=3 จงหาค่าของ a₁₀

เขาก็บอกให้ทำอย่างนี้อะคะ
ให้ a_n+1=xⁿ⁺¹ แทนค่าใน a_n

xⁿ⁺¹=3xⁿ-2x^n-1 จากนั้นนำ x^n-1 หารตลอดจ้ะ
ก็จะได้เป็นสมการ x²=3x-2
หรือ x²-3x+2=0
หรือ x=1,2
a_n=k₁(1)ⁿ+k₂(2)ⁿ
จะได้
a₁=k₁(1)¹+k₂(2)¹ เป็นสมการที่ 1
a₂=k₁(1)²+k₂(2)² เป็นสมการที่ 2
ก็จะได้ k₁=1, k₂=0.5 ก็จะได้เป็น a_n=1+2^n-1

อ่านเจอมาจากหนังสือ เล่มนึงอะจ้ะ อยากขอความกระจ่างนิดหน่อยเพราะว่าอ่านแล้วงง ว่าทำไมต้องใช้เป็น a_n+1=xⁿ⁺¹ แล้วก็ ลำดับที่ได้อะ มันมีความเป็นไปได้แค่ ลำดับเดียวเองหรอ ใครรู้ช่วยให้ความรู้เราหน่อยนะ ที่สมัครอะจะมาถามปัญหา แต่ถ้าเข้าไปในบอร์ดของเด็ก ม.ปลาย ก็คงจะมีความรู้น้อยเกินไปก็ได้ เพราะว่ามันไม่มีในหลักสูตรอะ ช่วยหนูหน่อยนะค่ะ

[M@gpie]

สมการแบบนี้เรียกว่า Difference Equation แปลเป็นไทยว่า สมการผลต่างสืบเนื่อง ครับ
วิธีการแก้นี้ถ้าจะพูดถึงเรื่องพิสูจน์แล้ว ยุ่งยากกันทีเดียวครับ เป็นเรื่องทางคณิตศาสตร์ที่ยืนยันว่าสมการรูปแบบนี้จะมีคำตอบอยู่ในรูปแบบนี้แน่นอน (ผมก็ยังไม่รู้เหมือนกันว่าทำไม??) ก็จำไปก่อนครับ เป็นเรื่องจำเป็น กลวิธีในการแก้สมการรูปแบบนี้ อิอิ
สุดท้ายได้มาว่า คำตอบจะอยุ่ในรูป \( a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n +.... + c_m x_m^n + a_{particular} \; \; \; \) ขึ้นกับจำนวนอันดับ m
ลองยกตัวอย่างเป็นลำดับฟิโบนักซีแล้วกันนะครับ คุ้นเคยดี
\[\begin{array}{rcl} a_{n+2} = a_{n+1} + a_n & & \; a_0=1 , a_1=1 \; \; n \geq 2 \\
\text{แทนค่าจะได้ว่า} \; \; \; x^2-x-1 & = & 0 \\ \text{ดังนั้น} \; \; \; x &= & \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ \text{คำตอบอยู่ในรูป} \; \; \; a_n & = & c_1(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n+c_2(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n \; \; n \geq 2
\end{array} \]
ที่เหลือก็แทนค่า เงื่อนไขจากโจทย์ก็สามารถหาค่า \( c_1 \) และ \( c_2 \) ได้ครับ

ยังมีส่วนของคำตอบกรณีที่ แก้หาค่า x ได้เป็นเลขเชิงซ้อนอยู่อีก และ คำตอบส่วน particular
ซึ่งรายละเอียดในหนังสือคงมีพูดถึงนะครับ

สรุปว่าผมตอบตรงคำถามมั้ยเนี่ย !!
รอท่านอื่นๆ มาแสดงความเห็นกันต่อครับ ผมจะได้รู้ด้วย

[GaSLovemath]

อืม differencial equation ยังไม่ได้เรียนอะค่ะ แค่เห็นในหนังสือของ ม.6 เล่มนึงจ้ะก็เลยลองมาถามดู เคยอยากเรียนเหมือนกัน แต่ว่าเพราะความขี้เกียจส่วนตัวเลยไม่ได้เรียน พี่พอจะแนะนำเว็บติว calculus ให้หน่อยได้มั้ยคะ เอาแบบศัพท์ไม่ต้องยากอะคะ คิดว่าพวกพี่ๆน่าจะรู้จักเว็บอะไรดีกว่าหนูเยอะเลย หนูถามGoogle อย่างเดียวเลย

[M@gpie]

มี Difference Equation กับ Differential Equation ต่างกันนะครับ อิอิ
ส่วนเวบก็ลองหาดูตาม Googleได้เลยครับ เวบไหนอ่านเข้าใจก็ใช้ได้ทั้งนั้นครับ

[GaSLovemath]

ขอบคุณค่ะ นึกว่าพี่เมาพิมพ์ผิดซะอีก แหะๆ

[warut]

โอ๊ะโอ... moderator Punk มาแก้เอาภาษาเด็กแนวออกหมดเลย