Calculus Marathon (2)

[M@gpie]

มาเพิ่มโจทย์ให้เดี๋ยวน้อง Timestopper_STG จะเหงา
Evaluate \[ \int_0^{\infty} \frac{\arctan \pi x - \arctan x}{x} dx \]

[gnopy]

ได้เท่ากับ $\sum_{n = 0}^{\infty\frac{\arctan \pi x - \arctan x}{x} }$
หรือปล่าวหนอ แวะมาhint คำตอบให้บ้างก็ดีครับ วรยุทธ์ผมมันยังไม่ถึงอะคับ รู้แต่ว่ามันจะคอนหรือว่าได แค่นั้นเองคับ

[M@gpie]

ทำไมได้เท่ากับอนุกรมนั้นล่ะครับ ? แล้วเราแสดงยังไงว่ามันลู่เข้า ??

คำใบ้

Iterated integration and Fubini's theorem

[gnopy]

เพราะผมคิดว่าการอินทิเกรตก้คือการรวมเอาส่วนย่อยๆเข้าด้วยกันอะครับ จึงได้เท่ากับซิกมา ไม่รู้ถูกอะป่าว แต่จะลองคิดดูครับข้อนี้ คงมีสักวันที่คิดออกนะ

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

มาเพิ่มโจทย์ให้เดี๋ยวน้อง Timestopper_STG จะเหงา
Evaluate \[ \int_0^{\infty} \frac{\arctan \pi x - \arctan x}{x} dx \]

\[ \int_0^{\infty} \frac{\arctan \pi x - \arctan x}{x} dx \]

\[ =\int_0^{\infty} \frac{\int_1^{\pi} \frac1{x^2y^2+1}\ x dy}{x} dx \]

\[ =\int_0^{\infty} {\int_1^{\pi} \frac1{(x^2y^2+1)}\ dy}dx \]

\[ =\int_1^{\pi} {\int_0^{\infty} \frac1{x^2y^2+1}\ dx}dy \]

\[ =\int_1^{\pi} {\int_0^{\infty} \frac1{y(u^2+1)}\ du}dx \]

$$=\frac{\pi}2 \ln\pi $$

[Mastermander]

Evaluate

$$\int _{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x^6+1}dx$$

Level: Easy

[Timestopper_STG]

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx+\int_{-\infty}^{0}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(-x)}{x^{6}+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx\]
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx=0\]
หลังจากทดมา15นาทีก็พบว่า...โดนหลอก
ถ้าเกิดเปลี่ยนเป็น$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{2n}+1}dx}$จะหาค่าได้ไหมครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx+\int_{-\infty}^{0}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(-x)}{x^{6}+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx\]
\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{6}+1}dx=0\]
หลังจากทดมา15นาทีก็พบว่า...โดนหลอก
ถ้าเกิดเปลี่ยนเป็น$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{2n}+1}dx}$จะหาค่าได้ไหมครับ

$\dfrac{\sin{x}}{x^6+1}$ เป็นฟังก์ชันคี่ครับ อินทิกรัลจึงเป็นศูนย์

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x^{2n}+1}dx}$ ตัวนี้หาได้ครับ แต่อาจจะต้องใช้ความรู้ Complex Analysis

ผมเคยหาแต่ตัวนี้ครับ

$$\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^n}dx=\frac{\pi}{n}\csc{\big(\frac{\pi}{n}\big)},n\geq 2$$

[nooonuii]

เพิ่งได้โจทย์น่าสนใจมาข้อนึง

ให้ $r$ เป็นจำนวนจรืง จงหาค่าของ
$$\int_0^{\infty}\frac{1}{(1+x^r)(1+x^2)}dx$$

[Timestopper_STG]

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})(1+x^{r})}$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1+tan^{r}u}$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^{r}u}{sin^{r}u+cos^{r}u}du$$
$$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^{r}u}{sin^{r}u+cos^{r}u}du$$
$$\therefore\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})(1+x^{r})}=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^{r}u}{sin^{r}u+cos^{r}u}du+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sin^{r}u}{sin^{r}u+cos^{r}u}du\right]=\frac{\pi}{4}$$

[M@gpie]

น้อง TimeStopper_STG นี่ช่ำชอง แคลคูลัสเป็นพิเศษเลยนะครับผม อีกหน่อยบินไปสมัครสอบ Putnam เลยสิครับ อิอิ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

$$\therefore\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^{2})(1+x^{r})}=\frac{r}{2}$$

ตายตอนจบพอดีเลยครับ

ผมมีอีกวิธี

$\displaystyle{\int_0^{\infty}\frac{1}{(1+x^r)(1+x^2)}dx=\int_0^1\frac{1}{(1+x^r)(1+x^2)}dx+\int_1^{\infty}\frac{1}{(1+x^r)(1+x^ 2)}}dx$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\int_0^1\frac{1}{(1+x^r)(1+x^2)}dx+\int_0^1\frac{u^r}{(1+u^r)(1+u^2)}du;u=\frac{1 }{x}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{\pi}{4}$

[Timestopper_STG]

รีบไปหน่อยครับแก้ไขแล้วครับ

[Timestopper_STG]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$$\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^n}dx=\frac{\pi}{n}\csc{\big(\frac{\pi}{n}\big)},n\geq 2$$

ไม่ทราบว่าข้อนี้มีแนวคิดยังไงหรอครับคุณnooonuiiผมงมมาตั้งนานแล้วยังไม่ออกเลยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

ไม่ทราบว่าข้อนี้มีแนวคิดยังไงหรอครับคุณnooonuiiผมงมมาตั้งนานแล้วยังไม่ออกเลยครับ

ขออภัยครับ ลืมบอกไปว่าข้อนี้ใช้ complex analysis ครับ

ถ้าใช้วิธีธรรมดาคงยากหลุดโลกแน่ๆเลย