Oesterlé?Masser conjecture

[จูกัดเหลียง]

มีบทความน่าสนใจมาให้ลองอ่านกันเล่นๆนะครับ
Oesterlé–Masser conjecture หรือ abc conjecture คือหนึ่งในปัญหาที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีจำนวน มันจัดอยู่ในกลุ่มปัญหาประเภท Diophantine problem ซึ่งหมายถึงปัญหาที่เขียนอยู่ในรูปสมการพหุนาม (polynomial equation) ที่มีตัวแปรเป็นจำนวนเต็ม เช่น $a^n+b^n=c^n$ เป็นต้น นักคณิตศาสตร์สองคน David Masser และ Joseph Oesterle เสนอ abc conjecture ขึ้นมาพร้อมกันในปี 1985 โดยไม่ได้นัดหมาย

abc conjecture คืออะไร

ก่อนจะรู้ว่า abc conjecture คืออะไรและเกี่ยวข้องอะไรกับจำนวนเฉพาะ เราจำเป็นจะต้องเข้าใจความหมายของคำว่า radical เสียก่อน ไม่ใช่ radical ทางการเมืองแบบพวกนักปฏิวัตินะ (อันนั้นให้ไปคุยกับพวกเสื้อแดง-เสื้อเหลืองกันเอาเอง) แต่เป็นความหมายทางคณิตศาสตร์

radical ของเลขจำนวนเต็ม n หรือ rad(n) คือ ตัวประกอบที่เกิดจากการเอาตัวประกอบเฉพาะของเลข n นั้นแต่ละตัวมาคูณกันโดยไม่ให้ซ้ำ เช่น $72=2^3\cdot 3^2$ เราจะได้ว่า radical ของ $72$ คือ $2\cdot 3=6$
เป็นต้น บางทีเราอาจเรียก radical ว่า "square-free part" หรือ sqp เนื่องจากไม่มีกำลังสองของจำนวนเต็มใดๆ มาหารมันได้ลงตัว

abc conjecture นั้นเกี่ยวเนื่องกับเลขจำนวนเต็มบวกสามตัว a, b, c ที่มีคุณสมบัติดังนี้

$(a,b)=1$เเละ $a+b=c$

จาก radical ของผลคูณ $a, b, c$ หรือ $rad(abc)$ เรากำหนดว่า "คุณภาพ" (quality) ของเลขชุด $a, b, c $หรือ $q(a, b, c)$ คือ เลขชี้กำลังที่จะทำให้ $rad(abc)$ มีค่าเท่ากับ $c$
เขียนความสัมพันธ์เป็นสมการได้ว่า
$$rad(abc)^{q(a,b,c)}=c$$
และเมื่อใส่ logarithm เข้าไปกับจัดรูปสมการใหม่สักเล็กน้อย เราก็จะได้ว่า
$$q(a,b,c)=\frac{\log c}{\log rad(abc)}$$
เมื่อเข้าใจทุกอย่างตรงกันแล้ว ก็ถึงคราวอธิบาย abc conjecture สักที นั่นคือ
ถ้ากำหนด $h$ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า $1$ แล้ว จำนวนของเลขชุด $a, b, c$ ที่ให้ผล $q(a, b, c)$ มากกว่า h จะมีจำนวนจำกัด ไม่ใช่มีจำนวนเป็นอนันต์

ตามที่ abc conjecture กล่าว ข้อความข้างบนจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า $h$ จะมากกว่า $1$ เล็กน้อยสักเท่าไรก็ตาม จะเป็น $2$ หรือ $1.01$ ก็ได้

และจาก abc conjecture เราก็จะค้นพบลักษณะอีกข้อว่า $q(a, b, c)$ มีค่าขอบเขตบน (upper bound) นั่นคือคุณภาพของชุด a,b,c จะไม่สามารถมีค่ามากกว่าเลขค่าหนึ่งไปได้ นักคณิตศาสตร์เรียกลักษณะการมีค่าขอบเขตบนของ $q(a, b, c)$ ว่า "weak abc conjecture" เนื่องจากมันแตกออกมาจาก abc conjecture โดยตรง และหากเราพิสูจน์ได้ว่า abc conjecture (หรือจะเรียกว่า strong abc conjecture ก็ได้เพื่อไม่ให้สับสน) เป็นจริง เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า weak abc conjecture เป็นจริง

ค่า $q(a, b, c)$ สูงสุดที่นักคณิตศาสตร์พยายามหาแบบถึกๆ น่ารักๆ มาได้ อยู่ที่ประมาณ $1.63$ ปัจจุบันยังไม่มีการค้นพบเลขชุด $a, b, c$ ที่มีคุณภาพเกินกว่านี้

credit:http://jusci.net/node/2785

[Sirius]

http://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
Link เกี่ยวกับ abc conjecture ใน Wikipedia