ช่วยตอบให้หน่อยครับ

กำหนดเส้นตรงมา 2 เส้น ยาว A และ ยาว B ให้สร้างเส้นตรง
ความยาวเท่ากับ A/B และ A*B โดยมีอุปกรณ์ให้คือ ไม้บรรทัด 1 อัน
และมีข้อแม้คือ ห้ามวัดความยาวของเส้นตรงทั้งคู่ แล้วจับมา หาร หรือคูณกัน

ข้อนี้พอผมจะลองคิดแล้วก็เกิดสงสัยอะไรบางอย่างขึ้นมาดังนี้

สมมติว่าโจทย์เปลี่ยนเป็นให้หา A*A และบังเอิญมีคนสองคน

คนแรกถือไม้บรรทัดที่เป็นหน่วยเมตรมาวัด เขาวัดได้ว่า A = 0.9 เมตร ดังนั้น A*A ในความหมายของเขาคือ ต้องการได้ความยาว A*A = 0.81 เมตร^2

ต่อมา คนที่สองถือไม้บรรทัดที่เป็นหน่วยเซ็นติเมตรมาวัด เขาวัดได้ A = 90 เซนติเมตร ดังนั้น A*A ในความหมายของเขาคือ ต้องการได้ความยาว A*A = 8,100 เซนติเมตร ^2

สมมติอีกแหละว่า คนแรกรู้จักแต่หน่วยเมตร ในขณะที่คนที่สองรู้จักแต่หน่วยเซนติเมตร จึงไม่รู้เรื่องการเปลี่ยนหน่วย(นั่นคือ คนที่สองจะไม่มีทางเปลี่ยน 8,100 เซนติเมตร^2 เป็น 0.81 เมตร^2 และจะใช้ค่า 8,100 เซนติเมตรไปโดยปริยาย) ถามว่าจริงๆแล้ว A*A = ???

ที่ถามขึ้นมาอย่างนี้เพราะ ถ้าไม่ตกลงกันก่อนจะเกิดปัญหาขึ้นมาได้ เช่น ถ้าเกิดมนุษย์ต่างดาว เขาใช้หน่วย x ขึ้นมา และเราก็ไม่รู้จักไอ้หน่วย x ที่ว่านี่ด้วย ดังนั้นเราจะไม่มีวันเปลี่ยนหน่วยเมตร^2 ให้เป็นหน่วย x^2 และจะใช้ค่า 0.81 เมตรไปโดยปริยาย ซึ่งก็จะเกิดปัญหากรณีเดียวกับคนที่สองที่จะไม่มีวันเปลี่ยนจากหน่วยเซนติเมตร^2 ไปเป็นหน่วยเมตร^2

ข้อสังเกตอีกอย่างหนึ่งก็คือ หากให้เราหาค่าของ k*A โดยที่ k ไม่มีหน่วยเลย เช่นหาค่าของ 2*A จะได้ค่าออกมาเท่ากันหมดไม่ว่าจะทำการวัดด้วยหน่วยอะไร ทั้งนี้เพราะเป็นการเทียบความสัมพันธ์กับหน่วยเดิมของ A แต่ถ้าเราจะหาค่าของ A*A จะเป็นการนำหน่วยของ A มาเทียบกับตัวมันเอง ซึ่งก็จะให้ผลแตกต่างกันออกไปตามลักษณะของหน่วยนั้นๆ

เอาอย่างนี้ดีกว่าครับ โจทย์นี้ผมอาจเขียนแล้วไม่ clear

กำหนดความยาวเส้นตรงมา 2 ขนาด คือ ยาว A cm และ B cm
ให้สร้างเส้นตรงที่มีความยาว A / B และ A*B
โดยมีข้อแม้คือห้ามใช้ไม้บรรทัดวัดความยาวเส้นตรงทั้งสอง
มาคูณหรือหารกันแล้วใช้ไม้บรรทัดลากเส้นให้ได้ความยาวเท่าที่คำนวณมา

ข้อนี้ผมว่า ไม่ว่าจะเปลี่ยนโจทย์ให้มีหน่วยเป็นอะไรก็ไม่สามารถตีความได้ เพราะหากผมสามารถหาวิธีการเหล่านั้นออกมาได้ จะเกิดปัญหาตามมาอีก เนื่องจากการที่เราเรียกมันว่าวิธีการนั้นแสดงว่าจะต้องเป็นสิ่งสากลที่เป็นจริงเสมอโดยที่มันไม่ขึ้นกับหน่วย นั่นคือ หากมีการกำหนดหน่วยมาให้ แล้วผมสามารถหาวิธีการที่ใช้เฉพาะกับหน่วยนั้นขึ้นมาได้ ก็แสดงว่าวิธีการที่ผมหามาได้นี้ มีความเกี่ยวข้องหรือรู้จักกับหน่วยที่ว่านี่ถูกไหมครับ

ซึ่งมันจะมีหรือครับวิธีการที่รู้จักหรือขึ้นกับหน่วยใดๆได้ ผมจะลองยกตัวอย่างให้ดู เช่น ถ้าเรากำหนดให้หาวิธีการที่ทำให้ได้เส้นตรงมีความยาวเป็น 2*A หรือให้มีความยาวเป็น sqrt(A*A + B*B) เราจะพบว่าเราสามารถหาวิธีการเหล่านี้มาได้

กรณี 2*A เราอาจจะไม่สงสัยเลยว่ามันหาได้ง่ายๆ แต่กรณีหลังนี่สิ มันมีความซับซ้อนแต่ทำไมจึงยังคงหาได้โดยที่ไม่ติดปัญหาเรื่องหน่วยใดๆเลย หากเราสังเกตเรื่องของหน่วยให้ดีเราจะพบว่า แม้กรณีหลังนี่จะมีความซับซ้อน(แถมยังมี A*A อีกด้วยแล้วจะไม่เกิดปัญหาขึ้นหรือ) แต่ผลลัพธ์สุดท้ายที่ได้จะมีหน่วยเดียวกับหน่วยที่ใช้เสมอ ดังนั้นไม่ว่าเราจะใช้หน่วยอะไร วิธีการนี้ก็จะให้ผลที่เป็นจริงอยู่เสมอ

ทีนี้พอเรามามองโจทย์ข้อนี้ใหม่ แล้วพิจาณาเรื่องของหน่วย หากกำหนดให้ใช้หน่วยเป็น x นั่นก็หมายความว่า A*B จะมีหน่วยเป็น x^2 ซึ่งเป็นอะไรก็ไม่รู้ (เรียกได้ว่าเป็นหน่วยของสองมิติไปเลย แล้วจะนำมาใช้กับหนึ่งมิติได้อย่างไร) A/B ไม่มีหน่วย แล้วเราจะสร้างความยาวของเส้นตรงด้วยหน่วยอะไรดีละที่มันเป็นจริงกับทุกหน่วย

ลองนึกภาพดูสิครับ หากผมหาวิธีการที่ใช้กับหน่วยเซนติเมตรขึ้นมาได้แล้ว คนที่สองเขามาตรวจสอบก็บอกว่า โอเค วิธีที่ผมว่ามานี่ถูกต้อง แต่เมื่อคนแรกเขาถือไม้เมตรมาวัด เขาก็จะบอกว่าผิด

หมายเหตุ: คำว่าวิธีการที่จะให้หา ผมเข้าใจว่าเป็นวิธีการทางเรขาคณิตเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่มีเรื่องของการเปลี่ยนหน่วยมาเกี่ยวข้อง เพราะจะต้องมีการคำนวณเกิดขึ้น

จะใช้หลักการของสามเหลี่ยมคล้ายในการสร้างเส้นตรงความยาว A/B
1. สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านประกอบมุมฉากคือ B cm และ 1 cm < ในที่นี้สมมุติว่า B ยาวกว่า A>
2. สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้นภายในสามเหลี่ยมจากข้อ 1 <พอสร้างแล้วจะได้สามเหลี่ยมคล้ายกัน 2 รูป>
โดยการวางให้เส้นตรงยาว A ขนานกับ B และจุดปลายของเส้นตรง A แตะกับด้านของสามเหลี่ยมในข้อ 1พอดี
3. บนเส้นตรงที่ยาว 1 cm ระยะที่วัดจากจุดที่เส้นตรง A แตะเส้นตรง 1 cm ไปยังปลายของเส้นตรง 1 cm <ปลายที่ไม่ต่อกับเส้นตรง B) ระยะนี้จะยาวจะยา ว A/B

เยี่ยมครับ คิดได้ไงนี่ อาศัยการขีดเส้นตรงที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งของหน่วยที่จะใช้ เป็นการทำให้วิธีการที่ว่านี้รู้จักกับหน่วยที่ต้องการเท่านั้น

อาศัยความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมคล้ายที่ว่า
1 / B = x / A ความสัมพันธ์นี้เป็นตัวบังคับให้ x ต้องมีหน่วยเดียวกับ 1 ที่ต้องการใช้ไปโดยปริยาย
จึงได้ว่า x = A / B โดยมีหน่วยเดียวกับ 1

ุถ้าใช้วิธีการแบบนี้ก็ไม่น่าจะมีปัญหาต่อไป จาก A * B = A / (1 / B) เราสามารถหาค่าของ 1 / B โดยวิธีการเดียวกับที่น้อง parn เสนอไว้แล้ว ก็เป็นอันเสร็จสิ้น การหา A * B ที่ขึ้นกับหน่วยเซนติเมตรเท่านั้น