เกียวกับ collinear

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

1. ให้เส้นตรง $l$ ตัดสามเหลี่ยม ABC ตัดด้าน $AB,BC,CA$ ที่ $D,E,F$ ตามลำดับ จงแสดงว่า จุดกึ่งกลางของ $AE,BF,CD$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[Thgx0312555]

ลากเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านของสามเหลี่ยม แล้วก็ใช้สามเหลี่ยมคล้ายครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

แสดงให้ดูหน่อยครับ มองไม่ออกจริงๆ ข้อนี้เห็นเรียนกว่า Gauss's line

[Thgx0312555]

เอาเป็นใช้ Menelaus ดีกว่าครับ ง่ายกว่า


ลากเส้นเชื่อมจุดกึ่งกลางทั้งสามด้าน โดยให้เป็น J,K,L ดังรูป ให้จุดกึ่งกลาง A,E แทนด้วย E' นิยามเช่นเดียวกันกับ C',D'
โดยสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ว่า

$\dfrac{LE'}{JE'}=\dfrac{CE}{BE}, \dfrac{JF'}{KF'}=\dfrac{AF}{CF}, \dfrac{KD'}{LD'}=\dfrac{BD}{AD}$

แล้วก็ใช้ Menelaus โดยตรงครับ

[~ArT_Ty~]

วิธีผมนะ


ให้ $M,N,O$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB,BC,CA$ ตามลำดับ ลาก $OM,MN,NO,NR$ ดังรูป

จะเห็นว่า $O,P,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $M,Q,N$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

และ $O,N,R$ ก็อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเช่นกัน

เนื่องจาก $D,E,F$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จาก Menelaus จะได้ว่า $$\frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC}=1$$

แต่ว่า $$1=\frac{CF}{FA} \cdot \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC}=\frac{NQ}{QM} \cdot \frac{OR}{RN} \cdot \frac{MP}{PO}$$

ไล่เทียบกันครับ แต่ละคู่ๆๆ

จากบทกลับของ Menelaus ก็จะได้ว่า $P,Q,R$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

อ่าว เหมือนคุณ Thgx0312555 เลย ^^" พิมพ์ช้านิดเดียว

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ขอบคุณทั้งสองท่านมากเลยครับ