พิสูจน์สามเหลี่ยมโดยใช้เวกเตอร์

[นกกะเต็นปักหลัก]

กำหนด $\bigtriangleup ABC$ ซึ่งมีจุด D และ E อยู่บนด้าน AB และ AC ตามลำดับ ซึ่งทำให้ DE // BC ให้จุด M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของ BCและ DE ตามลำดับ. จงพิสูจน์ว่า A ,M และ N เป็นจุดร่วมเส้นตรง

ใช้แค่บวก ลบ เวกเตอร์ เวกเตอร์ตำแหน่ง ช่วยทีครับ

[~ArT_Ty~]

G คืออะไรครับ?

[นกกะเต็นปักหลัก]

แก้แล้วครับ

[Onasdi]

$\vec{AD}$ ขนานกับ $\vec{AB}$ จึงได้ว่า $\vec{AD}=\left(\dfrac{AD}{AB}\right)\vec{AB}$
ในทำนองเดียวกัน $\vec{AE}=\left(\dfrac{AE}{AC}\right)\vec{AC}$
เนื่องจาก $\triangle{ABC}\sim\triangle{ADE}$ จึงได้ว่า $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=k$
ดังนั้น $\vec{AN}=\frac{1}{2}\vec{AD}+\frac{1}{2}\vec{AE}=\frac{1}{2}k\vec{AB}+\frac{1}{2}k\vec{AC}=k\left(\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{ 2}\vec{AC}\right)=k\vec{AM}$
เพราะฉะนั้น $\vec{AN}$ ขนานกับ $\vec{AM}$

[Amankris]

#4
จขกท. ให้ใช้แค่เวกเตอร์ ห้ามใช้ความคล้ายนะครับ

[t.B.]

ลองวาดรูปตามเองนะครับ

ให้ $AD=\overrightarrow{d} , AE=\overrightarrow{c} , DE=2\overrightarrow{f} $ ดังนั้น $ 2\overrightarrow{f} = \overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}--(1)$
และ $ AM=\overrightarrow{d} +\overrightarrow{f} $

และให้ $ AB=k_1 \overrightarrow{d} , AC= k_2 \overrightarrow{c} $ โดย $ k_1, k_2 \not= 0 $ แล้ว $ BC= k_2 \overrightarrow{c} - k_1 \overrightarrow{d} --(2) $

ใช้ข้อมูลที่โจทย์บอกว่าขนานกับ DE แปลว่า $ BC=k_3 \overrightarrow{f} ; k_3 \not= 0 $
แทนค่า (1),(2)
$ k_2 \overrightarrow{c} - k_1 \overrightarrow{d} = k_3 (\frac{\overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}}{2} ) $
$ (k_2 - \frac{k_3}{2} ) c= (k_1 - \frac{k_3}{2} ) \overrightarrow{d} $
เนื่องจาก $ \overrightarrow{c} ,\overrightarrow{d} $ อยู่คนละทิศ เวกเตอร์เท่ากันได้จึงมีกรณีเดียว สัมประสิทธิ์ต้องเป็น 0
ดังนั้น $ k_1=k_2= \frac{k_3}{2} $ ให้เท่ากับ k

แปลว่า $ BC= k_2 \overrightarrow{c} - k_1 \overrightarrow{d} = k(\overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}) = 2k\overrightarrow{f} $
และจาก $ AN= AB+\frac{BC}{2} = k\overrightarrow{d} +\frac{2k\overrightarrow{f} }{2} = k\overrightarrow{d} + k\overrightarrow{f} = k(\overrightarrow{d} +\overrightarrow{f} ) = kAM $
ดังนั้น AN กับ AM อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

[นกกะเต็นปักหลัก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ลองวาดรูปตามเองนะครับ

ให้ $AD=\overrightarrow{d} , AE=\overrightarrow{c} , DE=2\overrightarrow{f} $ ดังนั้น $ 2\overrightarrow{f} = \overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}--(1)$
และ $ AM=\overrightarrow{d} +\overrightarrow{f} $

และให้ $ AB=k_1 \overrightarrow{d} , AC= k_2 \overrightarrow{c} $ โดย $ k_1, k_2 \not= 0 $ แล้ว $ BC= k_2 \overrightarrow{c} - k_1 \overrightarrow{d} --(2) $

ใช้ข้อมูลที่โจทย์บอกว่าขนานกับ DE แปลว่า $ BC=k_3 \overrightarrow{f} ; k_3 \not= 0 $
แทนค่า (1),(2)
$ k_2 \overrightarrow{c} - k_1 \overrightarrow{d} = k_3 (\frac{\overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}}{2} ) $
$ (k_2 - \frac{k_3}{2} ) c= (k_1 - \frac{k_3}{2} ) \overrightarrow{d} $
เนื่องจาก $ \overrightarrow{c} ,\overrightarrow{d} $ อยู่คนละทิศ เวกเตอร์เท่ากันได้จึงมีกรณีเดียว สัมประสิทธิ์ต้องเป็น 0
ดังนั้น $ k_1=k_2= \frac{k_3}{2} $ ให้เท่ากับ k

แปลว่า $ BC= k_2 \overrightarrow{c} - k_1 \overrightarrow{d} = k(\overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}) = 2k\overrightarrow{f} $
และจาก $ AN= AB+\frac{BC}{2} = k\overrightarrow{d} +\frac{2k\overrightarrow{f} }{2} = k\overrightarrow{d} + k\overrightarrow{f} = k(\overrightarrow{d} +\overrightarrow{f} ) = kAM $
ดังนั้น AN กับ AM อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

$f$มาจากไหนครับ

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

$f$มาจากไหนครับ

สมมติขึ้นมาเองครับ ซึ่งก็เท่ากับ DM และ ME นั่นเอง

สังเกตว่า จริงๆแล้วสมมติแค่ d กับ c ก็เพียงพอแล้ว (ทำไม? ลองเอาไปคิดเล่นๆดูนะครับ )