การเรียงสับเปลี่ยนยาก

[Sabre]

มีตัวอักษร $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},B_{1},B_{2},B_{3},B_{4},B_{5}$ ทั้ง 10 ตัว

จงหาจำนวนวิธีการเรียงตัวอักษรทั้ง 10 ตัวโดยที่ $ A_{i} $ ต้องนำหน้า $ B_{i}$ ทุก i = 1,2,3,4,5

โดย $A_{i}$ จะมาก่อน $A_{j}$ และ $B_{i}$ จะมาก่อน $B_{j}$ ทุก $i<j$

เช่น $ A_{1}A_{2}B_{1}A_{3}A_{4}B_{2}A_{5}B_{3}B_{4}B_{5}$

[กิตติ]

ยากจริงๆด้วย ผมแบ่งกรณีเป็น
1.$A_iB_i$ อยู่ติดกัน
จับมัดกันได้ 5 คู่ สลับกันได้ $5!$
2.$A_iB_i$ อยู่ติดกัน 4 คู่ อีก1คู่อิสระ
เกิดได้ $4\times \binom{5}{3} $ เท่ากับ $40$
3.$A_iB_i$ อยู่ติดกัน 3 คู่ อีก2คู่อิสระ
เกิดได้ 840 วิธี
4.$A_iB_i$ อยู่ติดกัน 2 คู่ อีก3คู่อิสระ
วิธีนี้เกิดได้ 120 วิธี
5.$A_iB_i$ อยู่ติดกัน 1 คู่ อีก4คู่อิสระ
วิธีนี้เกิดได้ 480 วิธี

รวมแล้วได้ 120+40+840+120+480=1100 วิธี
ดูมั่วๆยังไงไม่ไรู้ เดี๋ยวรอท่านอื่นมาช่วยทำแล้วกันครับ

[Thgx0312555]

ลองดูปัญหานี้ดูครับ มีของ 5 ชนิด ชนิดละ 2 อย่าง นำมาเรียงในเส้นตรง ได้ ... วิธี

ปัญหาสองข้อนี้จริงๆแล้วเหมือนกัน

ก็คือ ในของที่เหมือนกันให้ ของชนิดที่ i ที่อยู่ข้างหน้าเป็น $A_i$ ที่อยู่ข้างหลังเป็น $B_i$

[กิตติ]

ผมแคปไปถามในFBแล้วได้วิธีการแบบที่Thgx0312555ว่านั่นแหละครับ
ผมจับ $A_i B_i$ มาทาสีเดียวกันแล้วจับเรียงของ ผมเอาวิธีที่พี่lek2554ที่บอกว่าเวลาเรียงของ 2 ชิ้นแบบให้ A อยู่หน้า B ก็ดูให้เป็นของเหมือนกันซ้ำกัน ก็จบ
ข้อนี้ได้ $\frac{10!}{2^5} $

[Sabre]

ผมขอโทษครับ ผมลืมให้เงื่อนไข $A_{i}$ จะมาก่อน $A_{j}$ และ $B_{i}$ จะมาก่อน $B_{j}$ ทุก $i<j$

เช่น $ A_{1}A_{2}B_{1}A_{3}A_{4}B_{2}A_{5}B_{3}B_{4}B_{5}$

[Thgx0312555]

เป็นผลลัพธ์หนึ่งของ Catalan number ครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

[Sabre]

ขอบคุณมากครับ