จำนวนสเตอร์ลิงที่2

[นกกะเต็นปักหลัก]

กำหนดS(n,r) =จำนวนวิธีในการแจกของ r ชิ้นที่ต่างกันลงในกล่อง n ใบที่เหมือนกัน โดยไม่มีกล่องใดว่าง
จงพิสูจน์ว่า $S(r+1,3)=\frac{1}{2}(3^r+1)-2^r$ และ $S(r,r-2)=\binom{r}{3} +3\binom{r}{4} $

[gon]

ตัวอย่าง จะแสดงว่า $S(r, 3) = \frac{1}{2}(3^{r-1}+1)-2^{r-1}$

ขั้นที่ 1. ให้คิดว่า กล่องทั้งสามใบเป็นกล่องที่ต่างกัน

ขั้นที่ 2.

ให้ $|A|$ แทน จำนวนวิธีที่กล่องใบที่ 1 ว่าง

ให้ $|B|$ แทน จำนวนวิธีที่กล่องใบที่ 2 ว่าง

ให้ $|C|$ แทน จำนวนวิธีที่กล่องใบที่ 3 ว่าง

ให้ $G(r, n)$ แทนจำนวนวิธีในการแจกของที่ต่างกัน r สิ่ง ลงในกล่องที่ต่างกัน n กล่อง โดยไม่มีกล่องใดว่าง

จะได้ว่า $G(r, 3) = |A' \cap B' \cap C'| = |U| - [(|A|+|B|+|C|) - (|A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A|) + |A \cap B \cap C|)]$

จะได้ $G(r, 3) = 3^r - (\binom{3}{1}2^r - \binom{3}{2}1^r + 0)$

ดังนั้น $S(r, 3) = \frac{G(r, 3)}{3!} = \frac{3^r-3\cdot 2^r + 3}{3!} = \frac{3^{r-1}-2^r+1}{2} = \frac{1}{2}(3^{r-1}+1) - 2^{r-1}$

[MINGA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

$S(r,r-2)=\binom{r}{3} +3\binom{r}{4} $

ในกรณีนี้ แบ่งของใส่กล่องได้แค่สองแบบครับ ก็คือ
1. กล่องหนึ่งมีของสามชิ้น ส่วนกล่องที่เหลือมีชิ้นเดียว

เฉลย

$ \binom{r}3$

2. มีสองกล่องที่มีของสองชิ้น นอกนั้นชิ้นเดียว

เฉลย

$\binom{r}{4} \binom{4}2 \frac{1}2$