วงกลม

[นกกะเต็นปักหลัก]

ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมรัศมี AO กำหนดจุด Q อยุ่นอกวงกลมลากมาสัมผัสวงกลมที่จุด A และ P
K เป็นจุดกึ่งกลาง PB ลาก PL ตั้งฉากกับ AB โดย AL+LB=AB ถ้า PL,LK ตัด QB ที่จุด M,Nตามลำดับและ QM=25 AQ:AB=5:12 หา MN

[SixGoldsForThailand]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมรัศมี AO กำหนดจุด Q อยุ่นอกวงกลมลากมาสัมผัสวงกลมที่จุด A และ P
K เป็นจุดกึ่งกลาง PB ลาก PL ตั้งฉากกับ AB โดย AL+LB=AB ถ้า PL,LK ตัด QB ที่จุด M,Nตามลำดับและ QM=25 AQ:AB=5:12 หา MN

$\fbox{Answer: 12}$

This problem is direct computational. I am certain there are various ways to solve it. The following approach sees some take-away lemmas along its way.

Lemma I: Let $\triangle QAB$ be a right triangle at $A$. Let $QP$ be another tangent line from $Q$ to the circle with diameter $AB$. Consider $L \in \overline{AB}$ such that $PL \perp AB$. If the radius of the circle is $r$ and $QA=dr$ (for some $d>0$), then we have
\[
AL = \frac{2 d^2}{d^2+1} \cdot r
\]

Suggested Approaches

Approach I: Trigonometry works well. Actually, this is a nice exercise in Trigonometry.
Approach II: (non-trigonometric) If $QP$ is not parallel to $AB$, consider $X$ the intersection between $QP$ and $AB$ and then use Pythagorean theorem. If $QP$ is parallel to $AB$, there is nothing much to prove.

Lemma II: Let $\triangle QAB$ be a right triangle at $A$. Let $QP$ be another tangent line from $Q$ to the circle with diameter $AB$. Consider $L \in \overline{AB}$ such that $PL \perp AB$. Then, $BQ$ passes through the midpoint of $PL$.

Suggested Hint

Let $Y$ be the intersection between $BP$ and $AQ$. What can you tell about $\triangle YAB$ and $\triangle PLB$? Is the line $BQ$ interesting in a way?

With the two lemmas, we are ready to do the computation. In this problem $d= \frac{5}{6}$, so $AL = \frac{50}{61} \cdot r$ and $LB = \frac{72}{61} \cdot r$. Note that $N$ is the centroid of $\triangle PLB$. Therefore,
\[
\frac{QM}{MN} = 3 \cdot \frac{QM}{MB} = 3 \cdot \frac{AL}{LB} = \frac{25}{12}
\]
Since $QM$ is given to be $25$, we have $MN = 12$ and we are done!

Please let me know if any of above is not clear, or too fast-paced. I will be more than happy to answer.