เรขา! ช่วยกันคิด

[math ninja]

1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12

จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ



2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ AX:XB = 3:5 ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y

ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC]



3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E

ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H

ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH



4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A

ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO



5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E

ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$



6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO

วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ

ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB



7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ

ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX

ถ้ามุม AXB=130 องษา แล้วจงหาขนาดมุม AXE



8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO

ถ้ามุม AIC=125 องศา และมุม IBO=10 องศา แล้วจงหาขนาดมุม BIC



9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG]

(I=incenter, O=circumcenter, G=centroid)



10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3

ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC]



11. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX



12. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ

ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า $AC.XY^2 = 2AZ.CX^2$



13. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่

พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน



14. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ
พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $(sin2A+sin2B+sin2C)$



15. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า $AC.BD=AB.CD+AD.BC$ แล้วพิสูจน์ว่า ABCD เป็น $concyclic$

(บทกลับ Ptolemy's theorem)



16. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ

ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ

พิสูจน์ $AB^2=4CX.XD$



17. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC

ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

[นกกะเต็นปักหลัก]

14.พิมพ์อะไรตกรึเปล่าครับ

[math ninja]

ทำข้ออื่นก่อนก็ได้

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja

1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12

จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบมุมฉาก

ให้ a, b เป็นความยาวด้านประกอบมุมฉาก c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก d เป็นความยาวเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้าม


พื้นที่สามเหลี่ยม

$\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} cd$

$ab = 12c$ --- (1)


ความยาวรอบรูป

$a+b = 60-c$

$a^2 + b^2 + 2ab = 3600 - 120c + c^2$ --- (2)


พิธาโกรัส

$a^2 + b^2 = c^2$ --- (3)


$(2) - (3)$

$2ab = 3600 - 120c$

$ab = 1800 - 60c$

แทนค่า $ab$ จาก (1)

$12c = 1800 - 60c$

$c = 25$

$\therefore ab = 300$

นำ $2ab$ ไปลบออกจาก (3)

$a^2 + b^2 -2ab = c^2 - 2ab$

$(a-b)^2 = 25^2 - 2(300)$

$(a-b)^2 = 25$

$|a-b| = 5$