ช่วยทีครับ

[Football]

จงหาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ $ 2^{n-1} $ หาร n! ลงตัว

[coke]

$n$=$2^k$ ทุกจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ k

[นกกะเต็นปักหลัก]

$2^{n-1}|n!$
$n!$ มีสองเป็นตัวประกอบทั้งหมด $\left\lfloor\,\frac{n}{2} \right\rfloor+\left\lfloor\,\frac{n}{4} \right\rfloor+...\leqslant \frac{n}{2}+\frac{n}{4}+...=n$
ทำต่อเลย

[จูกัดเหลียง]

ทุกจำนวนนับสามารถเขียนได้ในรูป $2^k+l$ เมื่อ $0\le l<2^k$
กรณี $l\not=0$ โดย $n=2^k+l$ เมื่อ $0<l<2^k$ เเละ $k\in\mathbb{N_0}$
จาก $\displaystyle n-1=\left\lfloor\,\frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{n}{4}\right\rfloor +...+\left\lfloor\,\frac{n}{2^k}\right\rfloor +...$
$\displaystyle 2^k+l-1=(2^{k-1}+2^{k-2}+..+1)+\sum_{m=1}^{k}\left\lfloor\,\frac{l}{2^m}\right\rfloor =2^k-1+\sum_{m=1}^k\left\lfloor\,\frac{l}{2^m}\right\rfloor $
ได้ว่า $\displaystyle l=\left\lfloor\,\frac{l}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{l}{4}\right\rfloor +..+\left\lfloor\,\frac{l}{2^k}\right\rfloor \le l\Big(1-\frac{1}{2^{k+1}}\Big)$
ซึ่งขัดเเย้ง ทำให้ได้ว่า $l=0\rightarrow n=2^k$ สำหรับทุกจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $k$