ช่วยอธิบายเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ทวินามครับ

[Yo WMU]

ตรงแนวคิดบรรทัดที่ 3 นี่เป็นสูตรหรอครับ แล้ว พจน์ $ \binom{n}{n-1-r} มากับสูตรหรอครับ $

ตรงแนวคิดบรรทัดสุดท้าย พจน์ $\binom{n}{r+1} $ เมื่อแทน r = n แล้ว จะมี -1! มาเกี่ยวด้วยหรือเปล่าครับ งง ว่าเค้าสรุปว่าเท่ากับ $ \binom{2n}{n-1} $ ได้ยังไงครับ

ฝากช่วยชี้แนะด้วยครับ ขอบคุณครับ

[gon]

มันคือการจับคู่กัน เพื่อให้ได้สัมประสิทธิ์ของ $x^{n-1}$ เท่านั้นครับ

เช่น ถ้าต้องการสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ จากการกระจาย $(3x^2-x+1)(3x^2-x+1)$

ก็นำ $(3x^2)(+1) + (-x)(-x) + (+1)(3x^2) = 7x^2$

พิสูจน์แบบให้เหตุผลเชิงคอมบินาทอริก จะเข้าใจง่ายกว่าครับ

นับแบบสองทาง (double counting)
นับแบบที่ 1. คือมีผู้ชาย n คน หญิง n คน รวม 2n คน ต้องการเลือกมา n-1 คน จะเลือกได้ $\binom{2n}{n-1}$

นับแบบที่ 2.
กรณีที่ 1. เลือกชาย 0 คน หญิง n-1 คน เลือกได้ $\binom{n}{0} \cdot \binom{n}{n-1}$ วิธี

กรณีที่ 2. เลือกชาย 1 คน หญิง n -2 คน เลือกได้ $\binom{n}{1} \cdot \binom{n}{n-2}$ วิธี

...

กรณีที่ n. เลือกชาย n-1 คน หญิง 0 คน เลือกได้ $\binom{n}{n-1} \cdot \binom{n}{0}$ วิธี

นับแบบที่ 2 จะทำได้ $\binom{n}{0} \cdot \binom{n}{n-1} + \binom{n}{1} \cdot \binom{n}{n-2} + ... + \binom{n}{n-1} \cdot \binom{n}{0} = \Sigma_{r=0}^n \binom{n}{r} \binom{n}{n-1-r}$

ดังนั้น $\binom{2n}{n-1} = \Sigma_{r=0}^n \binom{n}{r} \binom{n}{n-1-r}$

แต่เนื่องจาก $\binom{n}{n-1-r} = \binom{n}{r+1}$

ดังนั้น $\binom{2n}{n-1} = \Sigma_{r=0}^n \binom{n}{r} \binom{n}{r+1}$

ปล. ลองศึกษาตัวอย่างจากหนังสือเยอะ ๆ ก่อนดีกว่าไหมครับ โจทย์พวกนี้ เพราะเขาจะเขียนค่อนข้างรวบรัดและแนวคิดหรือทฤษฎีบทบางอย่าง เขาจะละไว้ในฐานที่เข้าใจว่ารู้แล้ว และบางทีถ้าพิมพ์ผิดนิดหน่อยก็จะยิ่งสับสนไปใหญ่

อ้อ ตรง $\binom{n}{n+1} = 0$, $\binom{n}{r} = 0$ เมื่อ $n < r$ หรือ $r < 0$ อันนี้เป็นนิยามครับ

ลองโหลดหนังสือ co223 มาดูครับ

http://e-book.ram.edu/e-book/indexstart.htm