ลองทำ ทบ จน.กันเล่นๆนะครับ

[จูกัดเหลียง]

จงหา จำนวนเต็ม $k$ ที่มากที่สุด(ในเทอมของ $n$) ที่ทำให้ $$\frac{m^{n!}-1}{2^k(m^{2!}-1)}$$ เป็นจำนวนเต็มคี่ สำหรับทุกจำนวนเต็มคี่ $m$ ที่มากกว่า $1$ เเละจำนวนนับ $n>1$

[Euler-Fermat]

พิจารณา $\upsilon_{2}(n!)$

[SixGoldsForThailand]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

จงหา จำนวนเต็ม $k$ ที่มากที่สุด(ในเทอมของ $n$) ที่ทำให้ $$\frac{m^{n!}-1}{2^k(m^{2!}-1)}$$ เป็นจำนวนเต็มคี่ สำหรับทุกจำนวนเต็มคี่ $m$ ที่มากกว่า $1$ เเละจำนวนนับ $n>1$

สวัสดีครับ คุณจูกัดเหลียง

ไม่ทราบว่าคุณผิดพิมพ์หรือไม่ครับ ตรง $m^{2!}$ ครับ

ขอบคุณครับ

[จูกัดเหลียง]

ถูกเเล้วครับ ขอโทษที่ตอบช้านะครับ

[artty60]

ช่วยเฉลยวิธีคิดข้อนี้หน่อยครับ

ผมมั่วไปมั่วมาได้ $ k=\left\lfloor\,\frac {n}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac {n}{2^2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac {n}{2^3}\right\rfloor +...+\left\lfloor\,\frac {n}{2^\sqrt{n}} \right\rfloor \,-1$ครับ

[artty60]

คุณจูกัดเหลียงมีเฉลยวิธีและคำตอบไหมครับ

[จูกัดเหลียง]

ให้ $n!=2^\alpha t$ โดยที่ $t$ เป็นจำนวนคี่
ได้ว่า $$\frac{m^{n!}-1}{m^{2!}-1}=\Big((m^2+1)({m^2}^2+1)...(m^{2^{\alpha-1}}+1)\Big)(1+m^{2^\alpha}+(m^{2^{\alpha}})^2+...(m^{2^{\alpha}})^{t-1})$$
จาก $m,t$ เป็นเลขคี่ได้ว่า $2|(1+m^{2^\alpha}+(m^{2^{\alpha}})^2+...(m^{2^{\alpha}})^{t-1})$ ไม่ได้ และจาก $2||(m^{2^k}+1)$ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$ ดังนั้น $2^{\alpha-1}||\Big(\dfrac{m^{n!}-1}{m^{2!}-1}\Big)$
จึงได้ว่า $$k=\alpha-1=-1+\sum_{k=0}^{\infty} \left\lfloor\,\dfrac{n}{2^k}\right\rfloor $$

[จูกัดเหลียง]

มันจะเท่ากันครับ เเต่ที่ผมสงสัยมากกว่าคือ คุณ artty60 เดาคำตอบออกมาได้อย่างไร

[artty60]

ผมว่ามันไม่เท่ากันนะครับ คำตอบผมน้อยกว่าของคุณจูกัดเหลียงครับ ลองเช็คคำตอบดู และผมยังงงกับตัวk2ตัวว่ามันคนละตัวแปรรึเปล่า

ส่วนผมก็คิดคล้ายๆกันน่ะครับ ผมให้ $\,m^2=x\,$

$\,m^{n!}-1=(x-1)(x^{\frac{n!}{2}}-1)=(x-1)(x^{\frac{n!}{2}-1}+x^{\frac{n!}{2}-2}+...+x^2+x+1)$

แล้วดูๆเอาเรื่องเลขคู่เลขคี่ และทบ.เลอจองด์ช่วยได้ดังคำตอบก่อนหน้านี้

[จูกัดเหลียง]

ลองเเสดงวิธีเต็มๆทีครับ

[artty60]

ให้$\,m^2=x\, $ซึ่ง x ก็เป็นจำนวนคี่

จะได้$\,m^{n!}-1\, =(x^{\frac{n!}{2}}-1)=(x-1)(x^{\frac {n!}{2}-1}+x^{\frac{n!}{2}-2}+...+x^2+x+1) $

แสดงว่า$\,2^k\mid (x^{\frac {n!}{2}-1}+x^{\frac{n!}{2}-2}+...+x^2+x+1) $

จะเห็นว่าฝั่งขวามี$\,\frac {n!}{2}\, $เทอม ซึ่งเป็นจำนวนคู่

แต่ละเทอมเป็นจำนวนคี่ ซึ่งหาร2เหลือเศษ1 เศษรวมเป็น$\,\frac {n!}{2}\,$

ดังนั้น$\,2^k\mid (P+\frac {n!}{2})=\frac {n!}{2}(Q+1)\,$โดย P, Qเป็นจำนวนคู่

แสดงว่า$\,2^k\mid \frac {n!}{2}\, $

หาจำนวนตัวประกอบ 2 ของ $\,n!\,$ด้วยทบ.ของเลอจองด์ได้$\,=\left\lfloor\,\frac {n}{2}\right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{n}{2^2}\right\rfloor +...+\left\lfloor\,\frac {n}{2^\sqrt{n}} \right\rfloor \,$

$$\therefore \,\quad \,k=\sum_{i = 1}^{\sqrt{n} } \left\lfloor\,\frac {n}{2^i}\right\rfloor-1 $$