TMO11

[Thgx0312555]

รบกวนคนที่ไปสอบ tmo มา โพสต์ข้อสอบด้วยครับ

[polsk133]

5. จงหาจำนวนจริง k ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leqslant (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$ เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$

6. จงหาจำนวนเฉพาะ p (บวก) ที่ทำให้ $2p^2-3p-1$ เป็นกำลังสามของจำนวนเต็มบวก

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

5. จงหาจำนวนจริง k ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leqslant (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$ เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$

(Credit : ครึ่งบน inspired by P' noonuii)
เปลี่ยนตัวแปรเป็น x,y,z โดย xyz =1

ดังนั้นอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ $ (k+x)(k+y)(k+z) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx) \Rightarrow (x+y+z -k)(xy+yz+zx -k^2) \geq 1+2k^3$

อันดับแรก จะพิสูจน์ $k = \sqrt[3]{9} -1 $ เป็นไปได้ (สังเกตว่า $(k+1)^3 =9$)

By AM-GM $ x+y+z \geq 3 >k \,\, , xy+yz+zx \geq 3 >k^2$ ดังนั้น $(x+y+z -k)(xy+yz+zx -k^2) \geq (3-k)(3-k^2) $

และ $ (3-k)(3-k^2) = 1+2k^3$ เพราะสมมูลกับ $(k+1)^3 =9$

----------------------------------------------

ต่อไปจะ prove such k maximum

take y = $\frac{1}{x}$ และ z=1

ถ้า k สอดคล้องกับอสมการ $ (k+x)(k+ \frac{1}{x})(k+1) \leq (x+\frac{1}{x}+1)^2$

Take limit x เข้าใกล้ 1 ดังนั้น $ (k+1)^3 \leq 9 $

p.s. มีคนถามผมว่า ไม่ take limit ได้มั้ย คำตอบคือได้ เช่น แทน 1,1,1 เพียงแต่ ผมตอบจากความเคยชินแวบแรก เวลาเห็นโจทย์สไตล์นี้ เพราะ บางข้อ มัน แทน 1,1,1 ไม่ได้ อาจต้องใช้ตัวอย่างละเอียดแล้ว take limit เช่น หาจำนวนจริงบวก c น้อยสุดที่ ทำให้ $$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_k}} < c \sum_{k=1}^n a_k \,\,\, ,\forall a_i>0 $$

[Poogunexe]

คราวนี้ดีนะครับ มีเฉลยแจกให้ด้วยหลังสอบเสร็จ

[Poogunexe]

2. จงหาฟังก์ชัน $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

$ f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1 $

สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$

[Beatmania]

ลงฉบับเต็มครับ

1. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี $BAC=100$ ต่อด้าน $AB$ ออกไปทาง $B$ ถึง $D,E$ โดยที่ $BC=AD=BE$

จงแสดงว่า $(BC)(DE)=(BD)(CE)$

2. จงหาฟังก์ชั่น $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1$$

ทุกจำนวนจริง $x,y$

3. ให้ $M,N$ เป็นจำนวนเต็มบวก นายพิสุทธ์เดินจากจุด $(0,N)$ ไปยังจุด $(M,0)$ โดยที่

i.) แต่ละก้าวของเขายาว $1$ หน่วย ไปในทิศขนานแกน $X$ หรือแกน $Y$

ii.) ทุก ๆ จุด $(x,y)$ ที่เขาเดินผ่านมีค่า $x\geq 0$ และ $y\geq 0$

iii.) ในแต่ละก้าว เขาจะวัดระยะทางจากตัวเขาไปยังแกนที่เขาเดินขนาน

ถ้าเขาเดินแล้วไกลจากจุดกำเนิดมากขึ้น เขาจะบันทึกระยะทางดังกล่าวเป็นจำนวนบวก

ในทางกลับกัน ถ้าเขาเดินแล้วใกล้จากจุดกำเนิดมากขึ้น เขาจะบันทึกระยะทางดังกล่าวเป็นจำนวนลบ

จงพิสูจน์ว่า หลังจากการเดินเสร็จสิ้นแล้ว ผลรวมระยะทางที่เขาบันทึกได้จะเป็น 0

4. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนเต็มที่

$$P(n)|2557^n+213\times 2014$$

ทุกๆ จำนวนเต็มบวก $n$

[Beatmania]

ฉบับเต็ม วันที่สอง

5. จงหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้

$$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a})\leq (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$

ทุกๆ จำนวนจริงบวก $a,b,c$

6. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $2p^2-3p-1$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก

7.ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูนโดยที่มีด้าน $AB,CD$ สั้นที่สุดและยาวที่สุดตามลำดับและ $AB\neq CD$

จงแสดงว่ามีจุด $E$ อยู่ระหว่าง $C,D$ โดยที่

"สำหรับจุด $P$ ใดๆ $(P\neq E)$ บนด้าน $CD$ ที่อยู่ระหว่าง $C,D$ ความยาวของ $O_1O_2$ เป็นค่าคงที่"

เมื่อ $O_1,O_2$ เป็น $Circumcenter$ ของ $APD,BPE$ ตามลำดับ

8. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ต้องการสร้างบัตรชุดหนึ่งที่มีเงื่อนไขว่า

i.) ตัวเลขที่ปรากฎบนบัตรอยู่ในรูป $m!$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ii.) สำหรับจำนวนนับ $t$ ใดๆ ที่ $t\leq n!$ เราสามารถเลือกบัตรจำนวนหนึ่งจากบัตรชุดนี้โดยให้ผลรวมของตัวเลขบนบัตรมีค่าเท่ากับ $t$

จงหาว่าการสร้างบัตรชุดนี้จะต้องใช้บัตรอย่างน้อยที่สุดกี่ใบ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

(Credit : ครึ่งบน inspired by P' noonuii)
เปลี่ยนตัวแปรเป็น x,y,z โดย xyz =1

ดังนั้นอสมการที่จะพิสูจน์สมมูลกับ $ (k+x)(k+y)(k+z) \leq (x+y+z)(xy+yz+zx) \Rightarrow (x+y+z -k)(xy+yz+zx -k^2) \geq 1+2k^3$

อันดับแรก จะพิสูจน์ $k = \sqrt[3]{9} -1 $ เป็นไปได้ (สังเกตว่า $(k+1)^3 =9$)

By AM-GM $ x+y+z \geq 3 >k \,\, , xy+yz+zx \geq 3 >k^2$ ดังนั้น $(x+y+z -k)(xy+yz+zx -k^2) \geq (3-k)(3-k^2) $

และ $ (3-k)(3-k^2) = 1+2k^3$ เพราะสมมูลกับ $(k+1)^3 =9$

วิธีนี้จริงๆแล้วมาจากผู้เข้าสอบบางคนครับ ผมว่าสวยดีแต่เสียดายที่ไม่มีใครทำวิธีนี้ได้เต็มไม่งั้นคงได้ best solution

ตั้งใจให้เป็นโจทย์ง่ายนะเนี่ย แต่กลายเป็นโจทย์ที่ยากมากๆไปได้ยังไงก็ไม่รู้

[Beatmania]

#8 ผมคิดว่ามันยากตรงที่ตรรกศาสตร์และการเขียนนะครับ เจอโจทย์แบบนี้ผมเขียนไม่เคยถูกเลย TT

แถมปีนี้ผมว่ามีข้อที่เขียนยากอยู่หมายข้อ เช่น 3,5,8

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe

2. จงหาฟังก์ชัน $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

$ f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1 $

สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$

Take y =0 , จะได้ $ f(-1) +f(x)f(0) = -1 $

แต่ constant function ไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น f(0) = 0

Take $ y= \frac{1}{x}$ ดังนั้น $ f(x) f(1/x) = 1- f(0) = 1 \,\, ,\forall x \neq 0 .......(1)$

จาก (1) implies f(1) = 1 or -1

Take y= 1 ใน original จะได้ $f(x-1) + f(x)f(1) = 2x-1 ......(2)$

Take $ y = \frac{1}{x-1} $ จะได้ $ f(\frac{1}{x-1})(1+f(x)) = \frac{x+1}{x-1} \,\, \forall x \neq 1 .......(3)$

Using (1) ใน (3) ดังนั้น $\frac{1}{f(x-1)}(1+f(x)) = \frac{x+1}{x-1} ......(4) $

Using (2) ใน (4) จะได้ $\frac{1}{2x-1-f(x)f(1)}(1+f(x)) = \frac{x+1}{x-1} $

ตอนนี้มีแต่ f(x) อย่างเดียวแล้ว
แทน f(1) แต่ละกรณีลงไป แล้ว simplify บรรทัดก่อนหน้า จะได้ $ f(x) = x$ และ $ f(x) = -x^2$

แทนในโจทย์แล้วจริงทั้งสองคำตอบ

[polsk133]

#8 ยากมากครับข้อ5 -0- ไม่นึกไม่ฝันว่าจะออกอสมการแนวนี้
ปล.แต่อ่านเฉลยละก้ง่ายจริงๆแหละครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

4. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนเต็มที่

$$P(n)|2557^n+213\times 2014$$

ทุกๆ จำนวนเต็มบวก $n$

สมมติ P nonconstant

ข้อนี้ ถ้าใครรู้ Well known lemma ที่บอกว่า set of prime divisors ของ P(n) มีเป็นอนันต์ ก็จะกลายเป็นข้อง่ายเลยครับ

เลือกจำนวนเฉพาะ p large ที่ (p,2557) =1 และ p| P(a) for some positive integers a

เพราะ p | P(a+p) - P(a) ดังนั้น p | P(a+p)

แสดงว่า $ p | 2557^a +(213)(2014)$ และ $ p | 2557^{a+p} +(213)(2014)$

ดังนั้น $ p | 2557^{a+p} - 2557^a = 2557^a(2557^p-1) \Rightarrow p | 2557^p-1$

จาก FLT p | 2557 -1 = 2556 Contradiction for p large เป็นอนันต์ที่สามารถเลือกได้

ดังนั้น P must be constant polynomial ,say P(x) = 1 or P(x) = -1

[Poogunexe]

ข้อสามใครมีไอเดียอะไรบ้างอะครับ ไอเดียผมคือ ขั้นแรกพิสูจน์ว่าเดินวนเป็นวงแล้วกลับมาที่เดิมผลรวมระยะทางได้ 0 ต่อไปพิสูจน์ว่าเดิน ขวาแล้วลงกับเดินลงแล้วขวาผลรวมระยะทางเท่ากัน จากนั้นก็ induction ไปเรื่อยๆว่าไม่ว่าจะเดินเละยังไงก็พับให้เป็นทางขวาและลงอย่างเดียวได้ แล้วจะเหลือแค่การเดินจาก (0,N) ไป (M,N) ไป (M,0) ซึ่งผลรวมระยะทางเป็น 0 แต่ผมว่ามันเขียนได้ยากมากเลย ยาวด้วย เห็นเฉลยทีขนลุกเลยครับ

[Aquila]

ข้อ 8 นี่ทำยังไงอ่ะครับ

ส่วนข้อ 6 มีวิธีที่ไม่ต้องพึ่งสมการ $x^2=y^3+17$ หรือเปล่าครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

#8 ยากมากครับข้อ5 -0- ไม่นึกไม่ฝันว่าจะออกอสมการแนวนี้
ปล.แต่อ่านเฉลยละก้ง่ายจริงๆแหละครับ

ความแปลกใหม่คือจุดประสงค์แรกที่ผมใส่โจทย์ข้อนี้เข้าไปในคลังข้อสอบครับ และตอนหลังก็ถูกโวตออกมาเป็นข้อสอบจริงๆ

ลืมคิดถึงปัญหาการตีความโจทย์ไปเลย ก็เลยมีคนทำได้น้อยมากๆเมื่อเทียบกับข้อ 1 ซึ่งเราวางไว้ว่าจะเป็นโจทย์ระดับเดียวกัน

แต่ถ้ามองในแง่ดีเด็กไทยเราก็จะได้เรียนรู้อะไรใหม่ๆเพิ่มขึ้นล่ะนะ เวทีใหญ่อย่าง IMO โจทย์ยากกว่านี้เยอะ

ขอให้ผู้ที่ได้ไปต่อทุกคนโชคดีครับ