สมการจำนวนเฉพาะ

[นกกะเต็นปักหลัก]

จงหา $p,q\in \mathbb{N} $และ p,q เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดซึ่ง $p^3-1=q^2-q$

[นกกะเต็นปักหลัก]

ผมเจอคำตอบหนึ่ง (7,19) แต่ไม่รู้มีอีกมั้ย ลองหาแล้วไปต่อไม่ถูก

[ACFEGIN]

จะสังเกตว่า $q > p$
แยกตัวประกอบทั้งสองฝั่งได้ว่า $(p-1)(p^2+p+1)=q(q-1)$
เนื่องจาก $q$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า $q|(p-1)$ หรือ $q|(p^2+p+1)$
แต่เนื่องจาก $q > p$ ได้ว่า $q|(p^2+p+1)$ ดังนั้น $(p-1)|(q-1)$
ได้ว่ามี $k \in \mathbb{N}$ ทีทำให้ $(p^2+p+1)=kq$ และ $(q-1)=k(p-1)$
ดังนั้น $p^2+p+(1-kq)=0---(1)$ และ $q=kp-k+1---(2)$
แทน$(2)$ ใน $(1)$ ได้ว่า $p^2+(1-k^2)p+(k^2-k+1)=0---(3)$
ได้ว่า discriminantของ $(3)$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์(มอง$p$เป็นตัวแปร)
ดังนั้น $(1-k^2)^2-4(k^2-k+1)=k^4-6k^2+4k-3$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ถ้า $k \geq 4$ ได้ว่า $(k^2-3)^2 < k^4-6k^2+4k-3 <(k^2-2)^2$ ดังนั้น $k \leq 3$
ซึ่งเมื่อแทน $k=1, 2, 3$ ใน $(3)$ แล้วจะมีแค่กรณี $k=3$ ซึ่งได้ $p=7$ เป็นจำนวนเฉพาะ
แทน $p=7$ ในโจทย์ ได้ $q=19$

[Thamma]

คิดเก่งจัง !

ขอถามหน่อยนะ
เมื่อ $ k^4 - 6k^2 + 4k - 3 $ เป็นกำลังสองสมบูรณ์,
จะสรุปว่า 4k - 3 = 9 ทำให้ k = 3 เลยได้ไหมคะ

[ACFEGIN]

ไม่ได้ครับ เพราะบางกรณี พจน์ที่เราพิจารณาอาจจะไม่เข้าformกำลังสองสมบูรณ์ แต่พอแทนตัวเลขลงไปแล้ว เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[ACFEGIN]

ที่พูดถึงหมายความว่า ถ้าเราจับ $4k-3=9$ เราจะได้ว่า $k^4-6k^2+4k-3=k^4-6k^2+9=(k^2-3)^2$ จะเป็นformกำลังสองสมบูรณ์ครับ
แต่ถ้า $4k-3 \neq 9$ ก็อาจจะมี ค่า $k$ ที่ทำให้ $k^4-6k^2+4k-3$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ครับ