วงกลมที่สัมผัสกับ incircle

[Thgx0312555]

ในสามเหลี่ยม $ABC$ ให้ $D$ เป็นจุดบน $BC$ ซึ่ง $AD \bot BC$, $E$ เป็นจุดแบ่งครึ่ง $AD$, $\omega$ เป็นวงกลมที่ผ่าน $B,C$ และสัมผัส incircle จงพิสูจน์ว่า จุดที่วงกลมทั้งสองสัมผัสกัน, จุด $E$ และจุดที่ incircle สัมผัส $BC$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

[Amankris]

ใช้สามเหลี่ยมคล้าย ไล่ด้านไปเรื่อยๆ ครับ

[Thgx0312555]

ช่วย hint ให้เพิ่มได้ไหมครับ

[Amankris]

ลากเส้นสัมผัสร่วม, EI ไปตัด BC ครับ

[passer-by]

Alternative solution

ให้ incircle สัมผัส BC ที่ F ,ลาก FE ตัด incircle again ที่ X

จะ prove FX bisects ฺ$B\hat{X}C $ ก็เพียงพอ (หลังจากนั้นจะได้ X เป็น common point ของ 2 วง และเป็นจุดสัมผัสร่วมด้วย ซึ่ง easy to prove)

ลาก diameter FF' of incircle ต่อ XF' ตัด BC ที่ Z

ถ้า prove ZBFC harmonic จะได้สิ่งที่ต้องการ ทันที

นั่นคือ เทียบเท่ากับ prove ว่า polar of A (wrt. incircle) ผ่าน Z (Not hard to prove why equivalent)

เนื่องจาก FF' ขนานส่วนสูง AD ดังนั้น F(F'AED) forms harmonic pencil

ลาก AF ตัด incircle again ที่ W ดังนั้น WXF'D เป็น harmonic quad

แต่ XF' ผ่าน Z และ ZD สัมผัส incircle ดังนั้น ZW สัมผัส incircle

นั่นคือ polar of Z คือ WF ซึ่งผ่าน A , Done !

[Thgx0312555]

ขอบคุณสำหรับ hint และ solution นะครับ (ยังไม่ค่อยเข้าใจ solution คุณ passer-by เท่าไร)
ขอเสนออีก solution แล้วกันครับ (ทำจาก hint)

Another Alternative Solution

ให้จุดสัมผัสของวงกลมทั้งสองเป็น $F$ จุดที่ incircle สัมผัส $BC$ เป็น $L$ เส้นสัมผัสร่วมของวงกลมทั้งสองตัด $BC$ ที่ $X$ และ $I_a$ เป็น excenter ตรงข้ามกับมุม $A$
โดย well-known lemma จะมีวงกลมที่ผ่าน $B,C,I,I_a$ โดย $II_a$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ให้วงกลมนั้นแทนด้วย $\omega$

โดย Power of Point จะได้ว่า $XB \cdot XC = XF^2$ หรือ power ของจุด $X$ เมื่อเทียบกับ incircle และ $\omega$ มีค่าเท่ากัน

$X$ อยู่บน radical axis ของ incircle, $\omega$

จาก $II_a$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จะได้ radical axis ของ incircle, $\omega$ เป็น polar ของ $I_a$ (wrt incircle) ด้วย

$X$ อยู่บน polar ของ $I_a$
$I_a$ อยู่บน polar ของ $X$ ด้วย

ดังนั้น $F,I_a,L$ collinear

โดยสามเหลี่ยมคล้าย แสดงได้ไม่ยากว่า $I_a,L,E$ collinear
$\therefore F,L,E$ collinear