ช่วยพิสูจน์ให้หน่อยครับ

[Leng เล้ง]

สามเหลี่ยมABCแนบในวงกลมจุดDเป็นจุดบนส่วนโค้งAB ลากDE,DF,DG ตั้งฉากกับBC,AB,AC(หรือส่วนที่ต่อออกไป)ตามลำดับ
ตัดเส้นรอบวงกลมที่จุดH,K,Lตามลำดับ พิสูจน์ว่าAH//BL//CK

[Napper]

ค่อยๆไล่มุมดูครับ อาจจะมึนหัวนิดหน่อย แหะๆ
ในที่นี้ผมจะโชว์ว่า CK//AH นะครับ เพราะว่าเราสามารถแสดงได้ในทำนองเดียวกันว่า CK//BL
ซึ่งจะแยกเป็นสองกรณีคือ เมื่อ ABCK เป็นรูปสี่เหลี่ยม กับเมื่อ ABCK เป็นรูปผีเสื้อ



กรณี 1 ABCK เป็นรูปสี่เหลี่ยม

1.ให้ $\widehat{BCK}=\theta$

2.ลากเส้นตรง AK ทำให้ได้ว่า $\widehat{KAB}=180^{\circ}-\theta$
เพราะเป็นมุมตรงข้ามกันของสี่เหลี่ยม ABCK ซึ่งแนบในวงกลม

3.พิจารณาสามเหลี่ยม AFK
เนื่องจาก $\widehat{KAF}=\widehat{KAB}=180^{\circ}-\theta$ และ $\widehat{AFK}=90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{AKF}=\theta-90^{\circ}$

4.เนื่องจาก $\widehat{AKD}=\widehat{AKF}=\theta-90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{AHD}=\theta-90^{\circ}$

5.ให้ AH ตัดกับ BC ที่จุด X

6.เนื่องจาก $\widehat{AHD}=\theta-90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{EHX}=\theta-90^{\circ}$

7.พิจารณาสามเหลี่ยม HEX
ซึ่งมี $\widehat{EHX}=\theta-90^{\circ}$ และ $\widehat{HEX}=90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{HXE}=180^{\circ}-\theta$

8.ตอนนี้เรามี $\widehat{XCK}=\widehat{BCK}=\theta$ และมี $\widehat{CXA}=\widehat{HXE}=180^{\circ}-\theta$
ดังนั้น CK//XA ซึ่งทำให้ CK//AH



กรณี 2 ABCK เป็นรูปผีเสื้อ

1.ให้ $\widehat{BCK}=\theta$

2.ลากเส้นตรง AK ทำให้ได้ว่า $\widehat{KAB}=\theta$

3.พิจารณาสามเหลี่ยม AFK
เนื่องจาก $\widehat{KAF}=\widehat{KAB}=\theta$ และ $\widehat{AFK}=90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{AKF}=90^{\circ}-\theta$

4.เนื่องจาก $\widehat{AKD}=\widehat{AKF}=\theta-90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{AHD}=90^{\circ}-\theta$

5.ให้ AH ตัดกับ BC ที่จุด X

6.เนื่องจาก $\widehat{AHD}=90^{\circ}-\theta$
ดังนั้น $\widehat{EHX}=90^{\circ}-\theta$

7.พิจารณาสามเหลี่ยม HEX
ซึ่งมี $\widehat{EHX}=90^{\circ}-\theta$ และ $\widehat{HEX}=90^{\circ}$
ดังนั้น $\widehat{HXE}=\theta$

8.ตอนนี้เรามี $\widehat{XCK}=\widehat{BCK}=\theta$ และมี $\widehat{CXA}=\widehat{HXE}=\theta$
ดังนั้น CK//XA ซึ่งทำให้ CK//AH เช่นกัน



แสดงว่าเราได้ CK//AH ไม่ว่าจะเป็นกรณีใดก็ตาม
และในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า CK//BL
ดังนั้น AH//BL//CK ตามต้องการ