Measure Theory Problem

[viista]

Let $\mathcal{E}$ be an arbitary collection of subsets of a set $X$, let $A$ be a nonempty subset of $X$, and let
$$
\mathcal{E}\cap A:=\{E\cap A:E\in \mathcal{E}\}.
$$
Show that the $\sigma$-algebra $\sigma_A(\mathcal{E}\cap A)$ on $A$ generated by $\mathcal{E}\cap A$ is equal to $\sigma_X(\mathcal{E})\cap A$, where $\sigma_X(\mathcal{E})$ is the $\sigma$-algebra on $X$ generated by $\mathcal{E}$.

[nooonuii]

ถ้าไม่รู้จะเริ่มยังไงก็เริ่มที่นิยามสิครับ

แต่เอ..นิยามของ $\sigma_A(\mathcal{E}\cap A)$ กล่าวว่ายังไงนะครับ

[viista]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าไม่รู้จะเริ่มยังไงก็เริ่มที่นิยามสิครับ

แต่เอ..นิยามของ $\sigma_A(\mathcal{E}\cap A)$ กล่าวว่ายังไงนะครับ

ไล่ตามนิยามตอนนี้ได้ขาเดียวครับ โดยการแสดงว่า $\sigma_X(\mathcal{E})\cap A$ เป็น $\sigma$-algebra บน $A$ ซึ่งจะได้ว่า $\sigma_A(\mathcal{E}\cap A)\subset \sigma_X(\mathcal{E})\cap A$

[nooonuii]

ถ้าแสดงได้ว่า $\sigma_A(\sigma_X(\mathcal{E})\cap A)=\sigma_X(\mathcal{E})\cap A$

จะทำให้ได้อีกข้างนึงมั้ยครับ

[viista]

การแสดงในกระทู้ 3 จะได้ข้างล่างนี้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้าแสดงได้ว่า $\sigma_A(\sigma_X(\mathcal{E})\cap A)=\sigma_X(\mathcal{E})\cap A$

จะทำให้ได้อีกข้างนึงมั้ยครับ

ก็ยังได้ขาเดิมอยู่ครับ