หลักรังนกพิราบ

[pont494]

1.ในการแข่งขันฟุตบอลแบบพบกันหมด แต่ละทีมจะแข่งกับทีมอื่นทีมละหนึ่งครั้งพอดี จงแสดงว่า ณ ขณะใดก็ตามจะต้องมีสองทีมที่แข่งมาแล้วเป็นจำนวนครั้งที่เท่ากัน

2.มีจำนวนนับ 8 จำนวนที่มีค่าไม่เกิน 15 จงพิสูจนะว่ามีอย่างน้อย 3 คู่ในจำนวนเหล่านี้ซึ่งมีผลต่างที่เป็นจำนวนบวก
ที่แตกต่างกันทั้งหมด (แต่ละคู่ไม่จำเป็นต้องมีสมาชิกแตกต่างกันทั้งหมด)

3.มีคน 7 คนที่อายุรวมกันได้ 332 ปี จงพิสูจน์ว่าจะต้องมี 3 คนในกลุ่มนี้ที่อายุรวมกันอย่างน้อย 142 ปี

4.จงพิสูจน์ว่าในลำดับ $3,3^2,3^3,3^4,...$ จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนซึ่งลงท้ายด้วย 001 เมื่อเขียนให้อยู่ในรูปทศนิยม

5.จงแสดงว่า เมื่อเลือกจุด 5 จุดใดๆภายในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาว 1 หน่วย จะต้องมีสองจุดที่
ห่างกันอย่างมาก $\frac{1}{2} $ หน่วย

[polsk133]

เลือก นก/รัง ดีๆครับ โจทย์นี้เป็นโจทย์เบสิก อยากให้ลองคิดเองให้ได้ครับ แต่ถ้าไม่ได้จริงๆเดี๋ยวมาhintให้ครับ

ปล. วิธีดูคือบางข้อ เห็นชัดๆว่านกมี5ตัว นั้นคือเราก็ต้องหารังให้มี4รัง ไรงี้ครับ /// บางข้อก็มีนกอนันต์ตัว

[pont494]

ข้อ 5 ผมทำได้อยู่แล้วครับ อ่านโจทย์ไม่ดีเอง แต่ข้ออื่นช่วยแนะนำด้วยครับผมไม่ค่อยเก่งครับ

[polsk133]

ข้อ 1 สมมติว่ามี n ทีมจะได้ว่าจำนวนทีมที่แต่ละทีมที่แข่งไปแล้วต้องอยู่ในเซต ${0,1,2,...,n-1}$ ซึ่งมี n แบบ แต่มันจะมาบางกรณีเกิดพร้อมกันไม่ได้ลองคิดดูครับ ทำให้เหลือรังที่พิจารณาแค่ n-1 รัง แต่เรามี n ทีม ดังนั้น ...

ข้อ 4 ถ้ามี $3^i$ กับ $3^j$ หารด้วย 1000 เหลือเศษเท่ากัน จะได้.....

ข้อ 2 $a_1<a_2<...<a_8$ พิสูจน์ว่าจะมี $a_i>a_2$ ที่ $a_i-a_2 ไม่เท่ากับ a_2-a_1$ จะได้3คู่นั้นคือ $a_1,a_2,a_i$

ข้อ 3 ลองพิสูจน์ขัดแย้งดูครับ (ใช้การบวกแบบ cyclic)

[pont494]

ขอบคุณครับ แต่ผมไม่เข้าใจข้อ 3 ครับ การบวกแบบ cyclic คืออะไรครับ ผมไม่รู้จักครับ

[polsk133]

$x_1+x_2+x_3 <142$
$x_2+x_3+x_4<142$
.
.
.
$x_7+x_1+x_2<142$
บวกกันครับ

[pont494]

ขอบพระคุณเป็นอย่างสูงครับ

[Pitchayut]

ข้อ 4 ทำไมผมไม่เห็นต้องใช้หลักรังนกพิราบเลย แค่ใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์ก็ได้แล้ว
จาก $\phi (1,000)=400$ โดยทฤษฎีบทออยเลอร์ จะได้
$3^{400}-1$ หารด้วย $1,000$ ลงตัว ทำให้ได้ว่า $3^{400}$ ลงท้ายด้วย $001$
ดังนั้น มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $3^n$ ลงท้ายด้วย $001$ $(n=400)$
จบการพิสูจน์ครับ (แต่จริงๆ ตอนแรกผมใช้ทฤษฎีบททวินามพิสูจน์ได้ ลองทำดูก็แล้วกันครับ)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

ข้อ 4 ทำไมผมไม่เห็นต้องใช้หลักรังนกพิราบเลย แค่ใช้ทฤษฎีบทออยเลอร์ก็ได้แล้ว
จาก $\phi (1,000)=400$ โดยทฤษฎีบทออยเลอร์ จะได้
$3^{400}-1$ หารด้วย $1,000$ ลงตัว ทำให้ได้ว่า $3^{400}$ ลงท้ายด้วย $001$
ดังนั้น มีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $3^n$ ลงท้ายด้วย $001$ $(n=400)$
จบการพิสูจน์ครับ (แต่จริงๆ ตอนแรกผมใช้ทฤษฎีบททวินามพิสูจน์ได้ ลองทำดูก็แล้วกันครับ)

โจทย์เขาอยากให้ฝึกใช้หลักรังนกพิราบน่ะครับ