การหารลงตัว a|b+c, b|c+a and c|a+b

[math ninja]

ให้ a,b,c เป้นจำนวนนับ ซึ่ง a|b+c, b|c+a และ c|a+b จงหา (a,b,c)

[Beatmania]

ค่อนข้าวยาวนะครับข้อนี้

เราสมมติให้ $(a,b,c)=1$ เพราะเราได้ว่าถ้าหาก $(a,b,c)$ เป็นคำตอบแล้ว $(\lambda a,\lambda b,\lambda c)$ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน ($\lambda\in \mathbb{N}$)

เราจะสนใจคำตอบที่ $(a,b,c)=1$

เราแยกกรณีก่อนคือ

1.ในสามตัวแปร มีอย่างน้อยสองตัวแปรที่มีค่าเท่ากัน เราให้เป็น $a,b$

เราจะได้ว่า $a|b+c \rightarrow a|c$ แสดงว่า ถ้าหาก $a>1$ แล้ว $(a,b,c)\geq a>1$ เราไม่พิจารณากรณีนี้

แสดงว่า $a=b=1$ ส่งผลให้ $c|2$ นั่นก็คือ $c=1,2$ ดังนั้น คำตอบชุดหนึ่งที่เป็นไปได้คือ

$(n,n,n),(n,n,2n)$ และการเรียงสับเปลี่ยนของมัน

2. มีค่าแตกต่างกันทั้งหมด เราให้ $c$ มีค่าสูงที่สุด

เราจะได้ว่า $a|a+b+c,b|a+b+c,c|a+b+c\rightarrow[a,b,c]|a+b+c$

ได้ว่า $[a,b,c]\leq a+b+c$ แต่ $a+b+c<3c$ และ $c|[a,b,c]$ ทำให้ได้ว่า $[a,b,c]=c,2c$

2.1 $[a,b,c]=c$

เราก็จะได้ว่า $b|c,a|c$ จากที่ว่า $b|c+a\rightarrow b|a$ ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $a|b$

สรุปได้ว่า $a=b$ ขัดกับที่เราสมมติเอาไว้

2.2 $[a,b,c]=2c$

เราก็จะได้ว่า ถ้าหาก $c=2^zc'$ โดย $c'$ เป็นเลขคี่

แล้ว $v_2(a)=z+1$ หรือ $v_2(b)=z+1$ โดย $v_2(n)$ เป็นกำลังสูงสุดของ $2$ ที่หารจำนวนนับ $n$ ลงตัว

เราสมมติให้ $v_2(a)=k+1$ จาก $2^k|a$ $a|b+c$ เราจะได้ $2^k|b$

ถ้าหาก $k>0$ แล้ว $(a,b,c)\geq 2^k>1$ เราไม่พิจารณากรณีนี้

ดังนั้น $k=0$ และทำให้ $c$ เป็นเลขคี่

จากที่ว่า $c|a+b$ และ $a+b<2c$ แสดงว่า $c\leq a+b<2c$ ทำให้ $a+b=c$

จะได้ว่าไม่$a$หรือ$b$เป็นเลขคู่ เราสมมุติให้ $a=2a'$ เราได้ว่า

$a|2b\rightarrow a'|b,b|2a+2c\rightarrow b|2a\rightarrow b|4a' \rightarrow b|a'$

เราได้ว่า $a'=b$ ดังนั้น $a=2a',b=a',c=3a'$

ได้ว่าชุดคำตอบหนึ่งที่เป็นไปได้คือ $(n,2n,3n)$ และการเรียงสับเปลี่ยนของมัน

สรุปแล้ว คำตอบทั้งหมกก็คือ $(n,n,n),(n,n,2n),(n,2n,3n)$ และการเรียงสับเปลี่ยนของมันครับ

[Thgx0312555]

น่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้นะ
ถ้า $a \le b \le c$ และจาก $c \mid a+b$ ก็น่าจะต่อได้ครับ

[Thamma]

จากที่คุณ Beatmania สมมุติให้ $ gcd(a,b,c) = 1 $ ในโจทย์ข้อนี้จะ imply $ gcd(a,b) = gcd(b,c) = gcd(a,c) = 1 $

เพราะถ้า $ gcd(a,b) = d > 1 $ แล้ว $ d \mid a , \;d \mid b $ ทำให้ $ d \mid b+c $ และ $ \;d \mid c $ นั่นคือ $ d \mid gcd(a,b,c) $ ซึ่งขัดแย้งกับที่สมมุติให้ $ gcd(a,b,c) = 1 $

จาก $ gcd(a,b) = gcd(b,c) = gcd(a,c) = 1 $ ทำให้ $ lcm(a,b,c) = abc $ ซึ่งทำให้ $ abc \mid a+b+c $

WLOG, $ a \leq b\leq c $ จะได้ว่า $\;abc \leq a+b+c \leq 3c $ ทำให้ $ ab \leq 3 $ ประกอบกับ $ b\leq c \mid a+b $ ทำให้ (a,b,c) มีค่าที่เป็นไปได้ตามความเห็นที่ 2

[Thgx0312555]

ตามที่เขียนไปโพสต์ก่อนๆ ก็อยากจะเสนออีกวิธีหนึ่ง ซึ่งผมมองว่าเป็นวิธีที่สังเกตได้ง่ายครับ
จาก $c \mid a+b$ และ $a \le b \le c$ จะได้ $a+b=2c$ หรือ $a+b=c$
ถ้า $a+b=2c$ จะได้ $a=b=c$
ถ้า $a+b=c$ แทนกลับไปจะได้ $b \mid 2a$ จาก $a \le b$ จะได้ $2a=b$ หรือ $a=b$
ดังนั้นคำตอบทั้งหมดก็เป็น $(n,n,n),(n,2n,3n),(n,n,2n)$ และการเรียงสับเปลี่ยน

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ตามที่เขียนไปโพสต์ก่อนๆ ก็อยากจะเสนออีกวิธีหนึ่ง ซึ่งผมมองว่าเป็นวิธีที่สังเกตได้ง่ายครับ
จาก $c \mid a+b$ และ $a \le b \le c$ จะได้ $a+b=2c$ หรือ $a+b=c$
ถ้า $a+b=2c$ จะได้ $a=b=c$
ถ้า $a+b=c$ แทนกลับไปจะได้ $b \mid 2a$ จาก $a \le b$ จะได้ $2a=b$ หรือ $a=b$
ดังนั้นคำตอบทั้งหมดก็เป็น $(n,n,n),(n,2n,3n),(n,n,2n)$ และการเรียงสับเปลี่ยน