number

[Pornpotp18]

ช่วยหน่อยคับ
1.ถ้า (a,b)=c แล้ว (a^2,b^2)=c^2
2.จงแสดงว่า ไม่มีจำนวนเต็มx,y ที่สอดคล้องกับ x+y=100 และ (x,y)=3
3.จงแสดงว่ามี x,y\in \mathbb{Z} จำนวนอนันต์ที่สอดคล้องกับ x+y=100 และ (x,y)=5
4.จงแสดงว่า ถ้า (a,b)=1 แล้ว (a^n,b^n)=1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n (เหมือนจะออกแต่ไม่ออก 555)

[FranceZii Siriseth]

1. (a,b)=c , ลอง a=cx,b=cy จะได้ว่า (x,y)=1 ลองทำต่อดูครับ

[FranceZii Siriseth]

2.สมมติว่ามี คู่อันดับ (x,y) เป็นคำตอบ
$(x,y)=3$
$x=3k$ และ $y=3m$ $ \exists k,m \in \mathbb{Z}$ โดยที่ $(k,m)=1$
$x+y=100$
$3k+3m=100$
$m+k=\frac{100}{3}$ ขัดแย้ง เพราะ $m+k \in \mathbb{Z}$

ส่วนข้อ 3 ก็ทำคล้ายๆกันครับ