มีวิธีคิดเร็วๆไหมครับ ค.ร.น

[ExterZ]

โจทย์มีอยู่ว่า จงหาจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่หาร 12,18,24 เหลือเศษ 6,12,18 ตามลำดับ ลองเอาโจทย์ที่สอบไปถามเพื่อนที่อยู่กิ๊ฟเลขให้ดู แล้วเหมือนคิดในใจได้เลยอ่ะครับ เร็วมาก เห็นเพื่อนอีกคนบอกใช้ modulo อยากรู้ว่าใช้อย่างไรครับ จะได้เอาไปสอบไฟนอล ขอบคุณครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ExterZ

โจทย์มีอยู่ว่า จงหาจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่หาร 12,18,24 เหลือเศษ 6,12,18 ตามลำดับ ลองเอาโจทย์ที่สอบไปถามเพื่อนที่อยู่กิ๊ฟเลขให้ดู แล้วเหมือนคิดในใจได้เลยอ่ะครับ เร็วมาก เห็นเพื่อนอีกคนบอกใช้ modulo อยากรู้ว่าใช้อย่างไรครับ จะได้เอาไปสอบไฟนอล ขอบคุณครับ

ดูเหมือนจะพิมพ์โจทย์ไม่ถูกต้องนะครับ

ควรจะเป็น

"จงหาจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่หารด้วย 12,18,24 เหลือเศษ 6,12,18 ตามลำดับ"

ถ้าไม่มีคน คำว่า ด้วย นี่เป็นคนละความหมายเลย เรียนคณิตศาสตร์ ต้องแม่นนิยามครับ อย่าพยายามตามใจฉัน

โจทย์ข้อนี้คิดในใจได้ครับ คือ หา ค.ร.น.ของ 12, 18, 24 ในใจ จากนั้นนำไปลบ 6 ก็จะเป็นคำตอบ

เนื่องจากเราสังเกตว่า 12 - 6 = 6, 18 - 12 = 6, 24 - 18 = 6

การหา ค.ร.น.ในใจ เราทำดังนี้ [12, 18, 24] = 6[2, 3, 4] = 6 x 12 = 72

หรืออาจจะคิดว่า [12, 18, 24] = 6[2, 3, 4] = 6 [[2, 4], 3] = 6[4, 3] = 6x4x3 =72

มันมีทฤษฎีบทอยู่ แล้วแต่เราจะเลือกใช้ เช่น

[ka, kb] = |k|[a, b]

[a, b, c] = [[a, b], c] = [[a,c],b] = [[b,c],a]

[a, b] = |ab| เมื่อ (a, b) = 1

modulo ข้อนี้ไม่จำเป็นต้องใช้แต่อย่างใดครับ, mod เอาไว้ใช้โจทย์ที่ไม่เศษมันไม่พอห่างกันกับตัวหารเท่ากันพอดีแบบข้อนี้ ซึ่งถ้าพอดีคือจะง่ายเลย แต่จริง ๆ ถึงแม้ว่าไม่พอดี ก็ไม่จำเป็นต้องใช้ mod ก็ทำได้ครับ มันมีความใจเรื่องการหารพื้นฐานง่าย ๆ อยู่ แต่ต้องเคยลองคิดมาก่อน

[ExterZ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ดูเหมือนจะพิมพ์โจทย์ไม่ถูกต้องนะครับ

ควรจะเป็น

"จงหาจำนวนเต็มบวกน้อยสุดที่หารด้วย 12,18,24 เหลือเศษ 6,12,18 ตามลำดับ"

ถ้าไม่มีคน คำว่า ด้วย นี่เป็นคนละความหมายเลย เรียนคณิตศาสตร์ ต้องแม่นนิยามครับ อย่าพยายามตามใจฉัน

โจทย์ข้อนี้คิดในใจได้ครับ คือ หา ค.ร.น.ของ 12, 18, 24 ในใจ จากนั้นนำไปลบ 6 ก็จะเป็นคำตอบ

เนื่องจากเราสังเกตว่า 12 - 6 = 6, 18 - 12 = 6, 24 - 18 = 6

การหา ค.ร.น.ในใจ เราทำดังนี้ [12, 18, 24] = 6[2, 3, 4] = 6 x 12 = 72

หรืออาจจะคิดว่า [12, 18, 24] = 6[2, 3, 4] = 6 [[2, 4], 3] = 6[4, 3] = 6x4x3 =72

มันมีทฤษฎีบทอยู่ แล้วแต่เราจะเลือกใช้ เช่น

[ka, kb] = |k|[a, b]

[a, b, c] = [[a, b], c] = [[a,c],b] = [[b,c],a]

[a, b] = |ab| เมื่อ (a, b) = 1

modulo ข้อนี้ไม่จำเป็นต้องใช้แต่อย่างใดครับ, mod เอาไว้ใช้โจทย์ที่ไม่เศษมันไม่พอห่างกันกับตัวหารเท่ากันพอดีแบบข้อนี้ ซึ่งถ้าพอดีคือจะง่ายเลย แต่จริง ๆ ถึงแม้ว่าไม่พอดี ก็ไม่จำเป็นต้องใช้ mod ก็ทำได้ครับ มันมีความใจเรื่องการหารพื้นฐานง่าย ๆ อยู่ แต่ต้องเคยลองคิดมาก่อน

จริงด้วยครับ ลืมคำว่า "ด้วย" รีบพิมพ์ไปหน่อยครับ ข้อนี้ตอบ 66 หรือเปล่าครับ 72 หารด้วย 6 เหลือเศษ 0 นิครับ
แล้วถ้าตั้งเป็นขั้นตอนการหารทำยังไงครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ExterZ

จริงด้วยครับ ลืมคำว่า "ด้วย" รีบพิมพ์ไปหน่อยครับ ข้อนี้ตอบ 66 หรือเปล่าครับ 72 หารด้วย 6 เหลือเศษ 0 นิครับ
แล้วถ้าตั้งเป็นขั้นตอนการหารทำยังไงครับ

"หา ค.ร.น.ของ 12, 18, 24 ในใจ จากนั้นนำไปลบ 6 ก็จะเป็นคำตอบ"

ถูกต้องครับ

ขั้นตอนการหาร เอาไว้ใช้ หา ห.ร.ม.ครับ ไม่ได้ใช้สำหรับแก้ข้อนี้

ที่ผมพูดพื้นฐานการหาร หมายถึง วิธีการคิดโจทย์ทำนองนี้แบบง่าย ๆ เช่น

จำนวนที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 7 และ หารด้วย 6 เหลือเศษ 2 อย่างนี้เป็นต้นครับ.

วิธีคิดแบบง่าย ๆ เช่น ให้ n เป็นจำนวนที่ต้องการ

เริ่มต้นพิจารณา เงื่อนไขแรกคือ "จำนวนที่หารด้วย 11 แล้วเหลือเศษ 7" จะได้ว่า n = 11a + 7 เมื่อ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

จากนั้น เมื่อเริ่มต้นพิจารณา เงื่อนไขที่สองคือ "หารด้วย 6 เหลือเศษ 2"

ให้แทน a ด้วย 6b + k ลงไป เป็น

n = 11(6b + k) + 7

เราจะหาค่า k โดย ให้คิดจาก 11k + 7 จะต้องหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 2

แต่ 6 หาร 7 เหลือเศษ 1 แสดงว่า 11k จะต้องหารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 1

จากนั้นก็ท่องสูตรคูณว่า 11x1 = 11, 11x2 = 22, ... จำนวนใดที่คูณกับ 11 แล้วหารด้วย 6 เหลือเศษ 1 จะพบว่า 11x5 = 55 หารด้วย 6 เหลือเศษ 1 แสดงว่า k = 5

นั่นคือ n = 11(6b + 5) + 7 = 66b + 62 เป็นสูตรทั่วไปที่สอดคล้องกับโจทย์ โดย b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

และสมมติว่าถ้าอยากได้ค่า n ที่เป็นจำนวนบวกน้อยสุด ก็แทน b = 0 จะได้ n = 62 เป็นต้น

หมายเหตุ

1. ตอนหาค่า k เราสามารถคิดได้เร็วกว่านี้โดย นำ 6 ไปหาร 11 ก่อนได้เศษ 5 เอาเศษนี้ไปใช้จะคิดได้เร็วกว่า

โดยท่องสูตรคูณว่า 5x1 = 5, 5x2 = 10, ... จำนวนใดที่คูณกับ 5 แล้วหารด้วย 6 เหลือเศษ 1 จะพบว่า 5x5 = 25 หารด้วย 6 เหลือเศษ 1 แสดงว่า k = 5

2. ในตัวอย่างนี้ ห.ร.ม.ของ 11 กับ 6 คือ 1 จะได้ว่า ค.ร.น.ของ 11 กับ 6 จะนำมาคูณกันได้เลย

แต่ถ้า ห.ร.ม.ไม่เป็น 1 เราจะต้องแทน b ด้วยค่าที่เป็น ค.ร.น. ของ a กับ b เช่น

จำนวนที่หารด้วย 6 แล้วเหลือเศษ 1 และ หารด้วย 4 เหลือเศษ 3

ตอนแรกให้ n = 6a + 1 แต่ว่า ห.ร.ม.ของตัวหารคือ 6 กับ 4 คือ 12

ขั้นต่อไปคือ แทน a = 2b + k ลงไป ได้ n = 6(2b + k) + 1

จากนั้นถามว่า 6k + 1 จะต้องหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 แสดงว่า k ที่เป็นไปได้คือ k = 1

ดังนั้น n = 6(2b + 1) + 7 = 12b + 7