ขอถามแบบฝึกหัด ทฤษฎีจำนวน หนังสือ สอวน. (บทที่ 1 ความรู้เบื้องต้น)

[<KAB555>]

ขอรบกวนถามหน่อยนะคะ เพิ่งเริ่มต้นอ่าน สอวน.ทฤษฎีจำนวนค่ะ ไม่ค่อยจะเข้าใจเลยยากมาก รบกวนผู้รู้เข้ามาตอบ แสดงแนวคิด จักขอบพระคุณเป็นอย่างยิ่งค่ะ

ปัญหา 4 (หน้า 14)
ให้ n!=n(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)
จงพิสูจน์ว่า n! > 2^n เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ที่ n มากกว่าหรือเท่ากับ 4

[nooonuii]

พิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เป็นรึยังครับ อันนี้เป็นวิธีมาตรฐาน

อีกวิธีก็ลองสังเกตว่า

$n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot (5\cdots n)=24\cdot 5\cdots n >16\cdot \underbrace{2\cdots 2}_{n-4}=2^n$

[<KAB555>]

ขอบคุณมากๆค่ะ

ปัญหา 5 (หน้า 16)
จงหาจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ n สามารถเขียนได้ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกเรียงต่อเนื่องกันอย่างน้อย 2 จำนวน

คือปัญหานี้ ที่แน่ๆเลยคือ จำนวนคี่ทุกตัว แต่ว่าในส่วนที่ n เป็นจำนวนคู่ มันจะเขียนอยู่ในรูปไหนบ้างคะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555>

ขอบคุณมากๆค่ะ

ปัญหา 5 (หน้า 16)
จงหาจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ n สามารถเขียนได้ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกเรียงต่อเนื่องกันอย่างน้อย 2 จำนวน

คือปัญหานี้ ที่แน่ๆเลยคือ จำนวนคี่ทุกตัว แต่ว่าในส่วนที่ n เป็นจำนวนคู่ มันจะเขียนอยู่ในรูปไหนบ้างคะ

ลองดูหน้า 50 ปัญหา 11 ครับ

[<KAB555>]

จงพิสูจน์ว่า $\frac{1}{\sqrt{1} } +\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} } > \sqrt{n} $ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ที่ $n\geqslant 2$

[nooonuii]

พิสูจน์อสมการนี้ได้มั้ยครับ

$\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$

[<KAB555>]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิสูจน์อสมการนี้ได้มั้ยครับ

$\sqrt{n}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}$

ลองทำดูก็ปรากฏว่า จะต้องพิสูจน์อสมการนี้ แต่ไม่รู้จะพิสูจน์อย่างไรค่ะ

[nooonuii]

ถ้าเอา $\sqrt{n+1}$ คูณตลอดอสมการจะกลับข้างมั้ยครับ

[<KAB555>]

ขอถามต่อเลยนะคะ

หน้า 28
13. จงแสดงว่า ถ้า $2\leqslant k\leqslant n-2$ แล้ว $\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1} +\binom{n-2}{k} $ สำหรับ $n\geqslant 4$

[Beatmania]

ลองมาฟังนิทานกันครับ

พิจารณางานปาร์ตี้ที่มีคน $n$ คน ในนั้นมี I,J อยู่ด้วย

พิธีกรจะเชิญคน $k$ ออกมาเต้นรำในคืนพระจันทร์เต็มดวง

พิธีกรมั่นใจแน่นอนว่า เขามีวิธีเชิญทั้งหมด $\binom{n}{k}$ วิธี

แต่เนื่องจาก I,J เป็นคู่รักกัน เขาจึงกลับมามองต่างมุม โดยพิจารณาในกรณีต่างๆ คือ

1.) เชิญมาทั้งสองคน พิธีกรจะต้องเชิญคน $k-2$ คนจากที่เหลือ $n-2$ คน คิดเป็น $\binom{n-2}{k-2}$ วิธี

2.) เชิญมาแค่คนเดียว พิธีกรเลือกระหว่าง I,J ได้ $2$ วิธี

และพิธีกรจะต้องเชิญคน $k-1$ คนจากที่เหลือ $n-2$ คน คิดเป็น $\binom{n-2}{k-1}$

รวมเป็น $2\binom{n-2}{k-1}$ วิธี

3.) ไม่เชิญมาทั้งสองคน พิธีกรจะต้องเชิญคน $k$ คนจากที่เหลือ $n-2$ คน คิดเป็น $\binom{n-2}{k}$

รวมแล้วได้ $\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k}$

ซึ่งเท่ากับที่เขาเคยคิดในตอนแรก ดังนั้นแล้ว พิธีกรจึงได้เอกลักษณ์

$$\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k}$$

ตามต้องการ #